双曲线的性质shuangquxian de xingzhi

❶对称性双曲线是轴对称图形，有两条互相垂直的对称轴，一条与双曲线有交点，一条与双曲线没有交点.它也是中心对称图形，对称中心就是两对称轴的交点，叫做双曲线的中心.双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，连结两顶点的线段叫做双曲线的实轴.
双曲线的对称轴是两坐标轴，中心是原点，两顶点是A′(-a,0)和A (a,0)，实轴|AA′|=2a，连结B′(0,-b)和B(0,b)的线段B′B叫做双曲线的虚轴，|B′B|=2b(如图1).

图1

图2

双曲线

的对称轴是直线x

＝x₀和y=y₀，中心是点O′(x₀,y₀)，两顶点是A′(x₀-a,y₀)和A (x₀+a,y₀)，虚轴两端点是B′(x₀,y₀-b)和B (x₀,y₀+b) (如图2)。

❷渐近性 双曲线有两条渐近线，渐近线相交于双曲线的中心，双曲线的两条对称轴平分两渐近线的

夹角. 双曲线

的两条渐近线是

这两条渐近线方程常写成

❸区域性 双曲线是无限伸展的，但是位于过顶点垂直于实轴的两直线和两条渐近线围成的平面区域内.

综上所述，双曲线

位于直线x=±a和

渐近线

所围成的平面区域内. 由于直线y=

重合于由

x=±a, y=±b

四条直线所组成的矩

形的对角线，所以双曲线的区域性和渐近性与此矩形密切相关，故称此矩形为双曲线的基本矩形.

❹ 形状可变性 由于

c>a>0,

离心率

恒大于1,e越接近于1,

越接近于零，

双曲线开口越小；反之，e越大，^b/a越大，双曲线开口越大.因此，离心率e反映双曲线开口大小的程度.

双曲线

也有类似的性质.