命题联结词的相互定义

数理逻辑共使用五个命题联结词：∧ （合取）、∨（析取）、→（蕴涵）、←→（等值）、乛（否定），但并不是每个联结词都是必不可少的。一个系统根据自己的需要，可以选择其中的两个作为初始的联结词，把其他三个通过定义的方式引入本系统。例如，在罗素的公理系统中，以∨和乛作为初始联结词，其他三个联结词定义如下：A→B定义为(乛A∨B)A∧B定义为乛(乛A∨乛B)A←→B定义为合取、∨ （析取）、→（蕴涵）、←→（等值）、乛（否定），但并不是每个联结词都是必不可少的。一个系统根据自己的需要，可以选择其中的两个作为初始的联结词，把其他三个通过定义的方式引入本系统。例如，在罗素的公理系统中，以∨和乛作为初始联结词，其他三个联结词定义如下：
A→B定义为(乛A∨B)
A∧B定义为乛(乛A∨乛B)
A←→B定义为(A←→B) ∧ (B→A)
在弗雷格的公理系统中，以→和乛作为初始联结词，∨、∧、←→三个联结词的定义如下：
A∨B定义为(乛A→B)
A∧B定义为乛(A→乛B)

A←→B定义为(A→B) ∧ (B→A)

用∧和乛作初始联结词，其他三个联结词可如下定义：
A∨B定义为乛(乛A∧乛B)
A→B定义为乛(A∧乛B)

A←→B定义为(A→B) ∧ (B→A)

在任一个系统中，作为初始联结词，否定一是不可缺少的，它的作用是其他的联结词所不能代替的。用等值←→和否定乛作为初始联结词是不行的，因为其他三个联结词不能由它们来定义。