三个平面的关系sange pingmian de guanxi

三个平面的相关位置共有八种，即❶它们有唯一的交点；
❷它们属于同一个有轴面束，但彼此不重合；
❸它们属于同一个有轴面束，但其中有两个重合，第三个不重合；
❹它们都重合，属于同一个平面；
❺它们每两个相交，三条交线互相平行，但每两条不重合；
❻它们之中有两个平行但不重合，第三个和它们交于平行的直线；
❼它们彼此平行，都不重合，属于同一平行面束；
❽它们之中有两个重合，第三个和它们平行，但不重合，属于同一个平行面束.
若已知三个平面珥r的方程是a_rz+b_ry+c_rz+d_r＝0(a_r²+b_r²+c_r²≠ 0,r=1,2,3)，设此三个方程所组成的方程组的系数矩阵和增广矩阵分别是C和A，即

将它们的秩分别记着R C和RA.在C的行列式里，ai,bi,ci的代数余子式分别记作Ai,Bi,Ci，则有下面的结论：
❶ 已知三个平面方程的系数矩阵和增广矩阵的秩，则三个平面有一个交点的充要条件是它们的秩都是3；三个平面共线的充要条件是它们的秩都是2；三个平面重合的充要条件是它们的秩都是1; 三个平面没有公共点的充要条件是它们的秩不相同.

❷ 已知三个平面方程的系数矩阵和增广矩阵的秩分别是2和3时，则其一，三个平面每两个相交，三条交线互相平行，但每两条不重合的充要条件是系数矩阵的行列式所成的三组代数余子式A₁,B₁,C₁; A₂,B₂,C₂; A₃,B₃,C₃中每组至少有一个不是零. 其二，三个平面中有两个平面平行且第三个都与这两个相交的充要条件是： 上述三组代数余子式中有两组在每组里至少有一个不是零.

❸ 已知三个平面方程的系数矩阵和增广矩阵的秩都是2，则其一，三个平面中没有两个平行或重合，但是共线，其充要条件是： 上述三组代数余子式中每组里至少有一个不是零. 其二，三个平面中有两个重合且第三个与它们相交的充要条件是： 上述三组代数余子式中有两组在每组里至少有一个不是零.

❹ 已知三个平面方程的系数矩阵和增广矩阵的秩分别是1和2时，则其一，三个平面平行的充要条件是： A_i,B_i,C_i都是零，而A中有两个二阶行列式不是零. 其二，三个平面中有两个重合，而第三个与之平行的充要条件是： A_i,B_i,C_i都是零，且A中有一个二阶行列式不是零.