悖论

指这样一种逻辑矛盾，即由对某一命题的肯定可推出其否定，而由对其否定却又可推出其肯定。设此命题为P，则既有p→乛P，又有乛P→P，结果P←→乛P。悖论问题是一个古老的问题。古希腊人把悖论简单地称为“说谎者”，中世纪的经院逻辑学者把悖论称为“不可解命题”。现代研究悖论的学者，通常把悖论分为语义悖论和语法悖论(又称“集合论悖论”)。对于悖论的研究，目的在于分析产生悖论的根源，寻求克服悖论的方法、途径。这种研究推动了逻辑学、数学、语义理论的发展。另外，形式系统中的若干不可判定语句的构造，也从悖论受到启发。下面是几个著名的悖论：撒谎者悖论 这是从古希腊流传下来的悖论，有多种不同的形式，其中有的形式的撒谎者悖论并不是真正的悖论。如，有一个克里特岛上的人说：“所有克里特岛上的人说的话都是谎话”，当肯定这个人说的话是假的时，并不能得出这个人说的话是真的。真正的说谎者悖论的形式为：一个人说，他正在说谎。这个悖论可简化为：这句话是假的。理发师悖论 罗素提出的一个悖论。一个乡村理发师为自己制定了一条规则：他只为那些不给自己理发的人理发。根据这条规则，这个理发师给不给他自己理发呢。如果他给自己理发，那么根据上面的规则，他就不应该给自已理发。如果他不给自己理发，那么根据上面的规则，他就应该给自己理发。结果，这个理发师给自己理发，当且仅当他不给自己理发。理查德悖论 理查德又称“集合论悖论”。对于悖论的研究，目的在于分析产生悖论的根源，寻求克服悖论的方法、途径。这种研究推动了逻辑学、数学、语义理论的发展。另外，形式系统中的若干不可判定语句的构造，也从悖论受到启发。下面是几个著名的悖论：
撒谎者悖论 这是从古希腊流传下来的悖论，有多种不同的形式，其中有的形式的撒谎者悖论并不是真正的悖论。如，有一个克里特岛上的人说：“所有克里特岛上的人说的话都是谎话”，当肯定这个人说的话是假的时，并不能得出这个人说的话是真的。真正的说谎者悖论的形式为：一个人说，他正在说谎。这个悖论可简化为：这句话是假的。
理发师悖论 罗素提出的一个悖论。一个乡村理发师为自己制定了一条规则：他只为那些不给自己理发的人理发。根据这条规则，这个理发师给不给他自己理发呢。如果他给自己理发，那么根据上面的规则，他就不应该给自已理发。如果他不给自己理发，那么根据上面的规则，他就应该给自己理发。结果，这个理发师给自己理发，当且仅当他不给自己理发。
理查德悖论 理查德(Richard) 1905年提出的悖论。任一英语语句总是一个由26个字母、逗句和字母之间的空位构成的有穷长的符号序列。现由可以用有穷个字句以定义的一切大于零小于1的实数组成一个集合E，并且令定义出来的数按字典顺序排列为E₁,E₂，…，E_n，…。把属于E的每一实数都表示成无穷小数。例如_,1/2可以表示为0.499…。现在定义一个实数a；小数点前为0，若第n个定义所定义的实数的第几位数字（小数点后）为g，则a的小数点后第n位的数字为o；若第n个定义所定义的实数的第n位数字为1—8,a的第n位的数字则比其大1。这样，a是一个用有限个字定义出来的大于0小于1的实数。然而a不属于E，因为a与E中的每一元素至少有一位数字不相同。这个悖论又称为定义可数性悖论。
格林悖论 格林(Grelling Nelson) 1908年提出的悖论。这个悖论是由“自谓的”与“非自谓的”概念引起的。所谓“自谓的”是指其含义对自身也适用的词或概念。如“概念”这个词就是自谓的，因为它本身也是概念。所谓“非自谓的”是指其含义对它自身不适用的词或概念。如“柏林”这个词的含义对它本身不适用，因为它自己是表意符号，而不是柏林这个城市。根据这种分类，“非自谓的”这个概念应属于哪一类？如果它属于“非自谓的”，那么这不是“自谓”了吗？如果它属于“自谓的”，那么它就是“非自谓的”，这就构成了矛盾。
在解决语义悖论方面，塔斯基(Alfred Tarski)作出了重要的贡献。他在探讨形式语言中的真的概念的过程中，提出了语言层次论。他认为语义悖论的产生是由于没有把语言区分为不同的层次，导致了语义封闭性。为了解决悖论，就必须分清对象语言和元语言，元语言是层次上高于对象语言的语言。用元语言来表述对象语言中语句的真假，就可避免悖论的产生。