戴德金分割daidejin fenge

构造实数集的一种代表性理论，主要内容是：有理数集Q的子集A₁,A₂的序对(A₁,A₂)，当满足下列条件时称为Q的分割：❶A₁≠Φ,A₂≠Φ;
❷Q=A₁U A₂;
❸若a₁∈A₁,a₂∈A₂，则a₁2.这时可能有下列三种情形：❶A₁有最大元，A₂无最小元；
❷A1无最大元，A₂有最小元；
❸A₁无最大元，A₂无最小元.由有理数的稠密性可知不会出现A₁有最大元且A₂有最小元的情形.每一个分割叫做一个实数，情形❶和
❷的实数叫做有理实数，情形
❸的实数叫做无理实数，全体实数的集合叫做实数集，用R表示.
有理实数中A₁的最大元或A₂的最小元唯一确定，可知有理实数的集合Q^*与有理数集Q一一对应.
对于实数α=(A₁,A₂)和β=(B₁,B₂)，当A₁⊆B₁时，定义为α≤β.这时，R关于这个序关系≤是全序集.若令C₂＝{a+b|a∈A₂,b∈B₂},C₁＝(全集是Q).则(C₁,C₂)=γ是实数，这时定义α+β=γ.关于这个加法，交换律、结合律成立.再者，当α≥0^*且β≥0^*时，若令D₂＝{ab|a∈A₂,b∈B₂},D₁＝(全集是Q)，则(D₁,D₂)=δ是实数，这时定义α·β=δ.类似地，当α<0^*且β≥0^*时，定义α·β=-((-α)·β);α≥0*且β<0^*时，定义α·β=-(α·(-β))；当α<0^*且β<0^*时，定义α·β= (-α)·(-β).关于这个乘法，交换律、结合律、分配律成立.R构成一个数域.
在以上定义下，有理实数集Q*与有理数集Q一一对应且Q中的和，积，0,1，对应于Q^*中的和，积，0^*,1^*.并且序关系依然保持着.即Q^*与Q关于运算和序是同构的，于是就把Q和Q^*看做是相同的，有理实数仍称为有理数，相应地，无理实数称为无理数.