拉格朗日中值定理lagelangri zhongzhi dingli

若函数f (z)满足条件❶在闭区间[a,b]上连续；

❷在开区间 (a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一点 c，使 得f ′ (c)或f (b)- —f (a) =f ′ (c) (6-a) (1)

如上图所示，拉格朗日中值定理的几何意义是，若连续曲线y=f (x)的弧AB上处处具有不垂直于X轴的切线，则在这弧上至少存在一点，使曲线在该点处的切线平行于弦AB.
公式(1)称为拉格朗日公式，它有时用另一种形式表示：

f(x₀ +△x)-f(x₀)=f′ (x₀ +θ△x) △x

其中θ是介与0与1之间的某一个数.
若定理的条件不全满足，则其结论就不一定成立.然而，可以举例说明，即使定理的条件不全满足，结论仍然可能成立. 这表明，定理的条件是充分的，但不是必要的.
推论1 若函数f (x)在区间 (a,b)内有f ′ (x)≡0，则f (x) 在区间 (a,b) 内是一个常数.
推论2 若对任意x∈ (a,b)有f′(x)=g′ (x)，则在区间 (d,b) 内有f(x) =g(x) +c (c为一常数).
拉格朗日中值定理精确地表述了函数在一个区间上改变量与函数在这个区间上某点导数之间的关系，而成为利用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具. 因此，该定理是微积分中最重要的定理之一.
罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.