数学shuxue

研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它包括算术、代数、几何、三角、微积分等。数学的产生和发展与人类社会生产实践紧密相联。在很早的时候，人类在生产实践中，由于比较大小的需要，获得了数的概念；由于计量的需要，形成了自然数的概念；同时，从具有某种特定形状的物体中获得了一些简单几何形体的概念。这样，在不断实践中，人类积累了一些数学知识。16世纪，初等数学(包括算术、初等代数、初等几何和三角)大体完备了。17世纪，由于生产力的发展，自然科学和技术发展起来，人们获得了变量的概念，数学开始研究变化中量与量之间的互相制约关系和图形间的互相变换的关系。数学随着生产力的发展，研究范围不断扩大，内容日益丰富。数学的理论具有非常抽象的形式，对现实世界空间形式和数量关系反映深刻，在各个部门都被广泛地应用，对人类认识自然、改造自然起着十分重要的作用。近年来计算技术的发展，更明显地反映了数学的重要作用，从内容来说，现代数学在习惯上分为数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析、微分方程、概率论、数理统计、计算数学等，同时也产生了一些边缘性科学，如运筹学、控制论等。

数学

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数学Mathematics

研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学是自然科学和工程技术的语言，对这些学科的发展有巨大影响，对促进社会进步的作用不可低估。加拿大继承和保持了欧洲文化与科学自由的传统，在国际高科技领域占有重要地位，但数学在加拿大文化和教育领域仍是薄弱环节：中学12年级以下开设的数学课主要是算术和少量代数、几何、三角课程等，学生的数学水平相当低，只有17世纪的普通数学常识。有必要加强数学教育，改进教学方法和课程设置以提高数学水平。

数学

中国数学古称 “算学”，侧重于解决实际应用问题。汉代出现的 《周髀算经》(成书年代大约是公元前1世纪) 是现存我国最古老的数学著作，其中叙述了勾三股四弦五的规律，此定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国人民认识到这一关系亦相当早。汉代出现的另一本著作 《九章算术》 标志着我国古代数学体系的初步形成。
公元3世纪和5世纪出现了我国早期伟大的数学家刘徽和祖冲之。刘徽生活于曹魏和西晋时期，公元263年写作了著名的 《九章术注》，除了对 《九章术》 的解法给出理论论证之外，还创立了 “割圆术” 这一新的数学方法。在刘徽之前，人们一般使用 “周髀径一” 来进行有关圆的计算，刘徽发现，“周髀径一” 关系并不是圆周与直径的真实关系，而是圆内接正六边形周长与直径之比，以此计算出来的圆面积也不是圆面积的准确值，而是圆内接正十二边形的面积。他由此想到，当圆内接正多边形的边数无限增多时，其周长就会无限接近圆周长，通过求圆内接正多边形的边长与直径之比，可以越来越精确地得出圆周率 （即圆周与直径之比），这就是所谓 “割圆术”。运用 “割圆术”，刘徽算出了圆内接正192边形的面积，得出了两个近似值157/50=3.14和3927/1250=3.1416，这些是当时世界上最精确的圆周率值。
运用刘徽所发明的 “割圆术”，南北朝时期的著名数学家祖冲之及其儿子祖暅，将圆周率准确到了小数点后第七位，通过计算圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出3.1415926 < π<3.1415927。此外，祖暅还证明了“等高的两立体，若其任意高处的截面积相等，则它们的体积相等” （幂势即同则积不容异），今人称之为 “祖暅定理”。
中国古代数学在宋元时期达到其繁荣的顶点，从11世纪到14世纪的300年间，出现了一批高水平的数学著作和著名的数学家，其中秦九韶、李治、杨辉和朱世杰被誉为宋元数学四大家，代表了当时中国也是世界上最先进的数学水平。
秦九韶写于1247年的 《数书九章》，是中国数学史上一部重要的著作。全书共18卷，81题，分9大类。第一，大衍类，主要阐述大衍求一术，即一次同余式组的解法； 第二，天时类，讨论历法推算与气象测量； 第三，田域类，讨论面积问题；第四，测望类，讨论勾股重差问题； 第五，赋役类，讨论运输与税收筹划问题；第六，钱谷类，讨论粮谷运输与粮仓容积问题； 第七，营建类，讨论建筑工程问题； 第八，军旅类，讨论安营扎寨与军需供应等问题； 第九，市易类，讨论市场交易及利息问题。秦九韶在这本书中所提出的 “大衍求一术” 和 “正负开方术” （即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造。
李治1248年完成 《测圆海镜》，1259年又写成 《益古演段》。前者12卷，170个问题，讲述由给定直角三角形求内切圆和旁切圆的直径，在此书中提出 “天元术”。后一书是 “天元术” 的入门著作，力图向读者通俗解释天元术。所谓 “天元术” 即根据问题的已知条件列方程、解方程的方法，“天元一” 相当于未知数X。天元术的出现标志着我国传统数学中符号代数学的诞生。
杨辉写有5种21卷： 《详解九章算术》 12卷 (1261)、《日用算法》 2卷(1262)、《乘除通变本末》 3卷 (1274)、《田亩比类乘除捷法》 2卷 (1275)、《续古摘奇算法》 2卷 (1257)，后三种统称“《杨辉算法》”。杨辉毕生致力于改进计算技术，提高乘除法的运算速度。他主张以加减代乘除，以归除代商除，并创造了一套乘除捷法。
朱世杰著有 《算学启蒙》 (1299) 和《四元玉鉴》 (1303)。《算学启蒙》 3卷259题，从四则运算开始一直到高次开方、天元术，是一部比较完善的数学教科书。《四元玉鉴》 3卷288题，特别讨论了高次方程组的解法、高阶等差级数的求和以及高次内插法等。这些问题之高深、解决方法之精辟，在当时世界上首屈一指。

数学

中国数学古称 “算学”，侧重于解决实际应用问题。汉代出现的 《周髀算经》(成书年代大约是公元前1世纪) 是现存我国最古老的数学著作，其中叙述了勾三股四弦五的规律，此定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，但我国人民认识到这一关系亦相当早。汉代出现的另一本著作 《九章算术》标志着我国古代数学体系的初步形成。
公元3世纪和5世纪出现了我国早期伟大的数学家刘徽和祖冲之。刘徽生活于曹魏和西晋时期，公元263年写作了著名的 《九章术注》，除了对《九章术》的解法给出理论论证之外，还创立了 “割圆术”这一新的数学方法。在刘徽之前，人们一般使用 “周髀径一”来进行有关圆的计算，刘徽发现，“周髀径一”关系并不是圆周与直径的真实关系，而是圆内接正六边形周长与直径之比，以此计算出来的圆面积也不是圆面积的准确值，而是圆内接正十二边形的面积。他由此想到，当圆内接正多边形的边数无限增多时，其周长就会无限接近圆周长，通过求圆内接正多边形的边长与直径之比，可以越来越精确地得出圆周率 （即圆周与直径之比），这就是所谓 “割圆术”。运用 “割圆术”，刘徽算出了圆内接正192边形的面积，得出了两个近似值157/50 = 3.14和3927/1250=3.1416，这些是当时世界上最精确的圆周率值。
运用刘徽所发明的 “割圆术”，南北朝时期的著名数学家祖冲之及其儿子祖之， 将圆周率精确到了小数点后第七位，通过计算圆内接正6144边形和正12288边形的面积，得出3.1415926<π<3.1415927。此外，祖之还证明了“等高的两立体， 若其任意高处的截面积相等，则它们的体积相等”（幂势即同则积不容异），今人称之为“祖定理”。
中国古代数学在宋元时期达到其繁荣的顶点，从11世纪到14世纪的300年间，出现了一批高水平的数学著作和著名的数学家，其中秦九韶、李治、杨辉和朱世杰被誉为宋元数学四大家，代表了当时中国也是世界上最先进的数学水平。
秦九韶写于1247年的 《数书九章》是中国数学史上一部重要的著作。全书共18卷，81题，分9大类。第一，大衍类，主要阐述大衍求一术，即一次同余式组的解法；第二，天时类，讨论历法推算与气象测量；第三，田域类，讨论面积问题；第四，测望类，讨论勾股重差问题；第五，赋役类，讨论运输与税收筹划问题；第六，钱谷类，讨论粮谷运输与粮仓容积问题；第七，营建类，讨论建筑工程问题； 第八，军旅类，讨论安营扎寨与军需供应等问题；第九，市易类，讨论市场交易及利息问题。秦九韶在这本书中所提出的“大衍求一术”和“正负开方术”（即以增乘开方法求高次方程正根的方法），是非凡的数学创造。
李治1248年完成《测圆海镜》，1259年又写成《益古演段》。前者12卷，170个问题，讲述由给定直角三角形求内切圆和旁切圆的直径，在此书中提出 “天元术”。后一书是“天元术”的入门著作，力图向读者通俗解释天元术。所谓 “天元术”即根据问题的已知条件列方程、解方程的方法； “天元一”相当于未知数X。天元术的出现标志着我国传统数学中符号代数学的诞生。
杨辉写有5种21卷： 《详解九章算术》12卷(1261)、《日用算法》2卷(1262)、《乘除通变本末》 3卷(1274)、《田亩比类乘除捷法》2卷 (1275)、《续古摘奇算法》2卷(1275)，后三种统称 《杨辉算法》。杨辉毕生致力于改进计算技术，提高乘除法的运算速度。他主张以加减代乘除，以归除代商除，并创造了一套乘除捷法。
朱世杰著有 《算学启蒙》 (1299) 和 《四元玉鉴》 (1303)。《算学启蒙》 3卷259题，从四则运算开始一直到高次开方、天元术，是一部比较完善的数学教科书。《四元玉鉴》3卷288题，特别讨论了高次方程组的解法、高阶等差级数的求和以及高次内插法等。这些问题之高深、解决方法之精辟，在当时世界上首屈一指。

数学

一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学萌发于远古时代，诞生在人类文明的发源地。在东亚的黄河、长江流域，南亚次大陆的印度河、恒河流域，西南亚的幼发拉底河、底格里斯河流域和东非尼罗河流域等地，从远古时代起，人类就开始根据自己生活和生产的实际需要，不断发现和积累数学知识。数学的发展主要经历了三个时期，(1)初等数学时期(公元前6世纪—公元17世纪)，这是算术、初等几何、初等代数逐步完善，常量数学基本建立的时期。(2)变量数学时期(公元17世纪初—19世纪初)，这是数学空前发展的时期，解析几何、高等代数、微积分学等分支学科相继出现。(3)近代数学时期(公元19世纪初—)，这个时期产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑、模糊数学等大量分支，将数学推向一个新的发展高峰。纵观数学史，其发展遵循常量数学→精确数学→变量数学→随机数学→模糊数学的序列，从而表明数学是历史发展的产物，一个时代的数学发展状况依赖于那个时代的历史条件，是当时人类社会实践水平和科学文化知识积累的必然结果。数学发展到现在已构成包含众多分支学科的庞大的科学体系。按与现实生活联系的密切程度可分为两大类，即纯粹数学和应用数学。纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，其中包括研究空间形式的几何类，如微分几何、拓扑学等；研究离散系统的代数类，如数论、近世代数等；以及研究连续现象的分析类，如微分方程、函数论、泛函分析等。应用数学主要研究如何从现实问题中抽象出数学规律以及如何把已知的数学规律加以应用，其中包括运用微分方程来描述物理、工程技术等领域中的运动过程和现象的数学物理方程；运用数学方法协助人们寻找解决问题的最优方案的运筹学；帮助人们从偶然现象背后找出必然规律的概率统计学等等。数学具有其鲜明特点，与其它许多自然科学不同之处在于，数学不是以某一类实物或某一种物质运动形态作为研究对象的，它的研究对象表现为思想事物的纯粹的量。由此决定着数学具有三个最深刻的特征：❶高度抽象性，
❷严谨的逻辑性，
❸广泛的适用性。这些特征在近代数学中更集中、更突出地表现了出来。近代数学的形成与几个主要数学分支发生的重大变革密切相关，这些变革促使数学的面貌发生了惊人的变化：领域急剧扩展，内容不断深化，整个数学显示出统一化的趋向。这些深刻影响数学发展的变革包括：1.群论的建立及近世代数学的形成19世纪初法国数学家伽罗华1初等数学时期(公元前6世纪—公元17世纪)，这是算术、初等几何、初等代数逐步完善，常量数学基本建立的时期。(2)变量数学时期(公元17世纪初—19世纪初)，这是数学空前发展的时期，解析几何、高等代数、微积分学等分支学科相继出现。(3)近代数学时期(公元19世纪初—)，这个时期产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑、模糊数学等大量分支，将数学推向一个新的发展高峰。纵观数学史，其发展遵循常量数学→精确数学→变量数学→随机数学→模糊数学的序列，从而表明数学是历史发展的产物，一个时代的数学发展状况依赖于那个时代的历史条件，是当时人类社会实践水平和科学文化知识积累的必然结果。
数学发展到现在已构成包含众多分支学科的庞大的科学体系。按与现实生活联系的密切程度可分为两大类，即纯粹数学和应用数学。纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，其中包括研究空间形式的几何类，如微分几何、拓扑学等；研究离散系统的代数类，如数论、近世代数等；以及研究连续现象的分析类，如微分方程、函数论、泛函分析等。应用数学主要研究如何从现实问题中抽象出数学规律以及如何把已知的数学规律加以应用，其中包括运用微分方程来描述物理、工程技术等领域中的运动过程和现象的数学物理方程；运用数学方法协助人们寻找解决问题的最优方案的运筹学；帮助人们从偶然现象背后找出必然规律的概率统计学等等。
数学具有其鲜明特点，与其它许多自然科学不同之处在于，数学不是以某一类实物或某一种物质运动形态作为研究对象的，它的研究对象表现为思想事物的纯粹的量。由此决定着数学具有三个最深刻的特征：❶高度抽象性，
❷严谨的逻辑性，
❸广泛的适用性。这些特征在近代数学中更集中、更突出地表现了出来。
近代数学的形成与几个主要数学分支发生的重大变革密切相关，这些变革促使数学的面貌发生了惊人的变化：领域急剧扩展，内容不断深化，整个数学显示出统一化的趋向。这些深刻影响数学发展的变革包括：
1.群论的建立及近世代数学的形成
19世纪初法国数学家伽罗华(E.Galois 1811—1832)第一次提出“群”的概念，为群论的建立奠定了基础。群的概念是为对客观世界中具体的和抽象的对称性进行研究而引进的。最先开始出现的群是变换群，即一些变换组成的集合，它满足群的公理：两个元素的乘积仍是群的元素，乘积满足结合律，群中有单位元素，群中每个元素都有一个逆元素，它们的乘积等于单位元素。当把具体变换的共有特征抽象出来，以符号代替具体变换，就形成了抽象群论。把这个过程反过来，即又把抽象群具体实现为变换群，是群表示论所研究的。这都是群论的重大发展。此后，更多的带有一种或几种运算的对象系统，如环、理想子环、线性空间等等抽象的代数系统相继发现，使代数学的研究对象发生了重大变化，一门新的数学分支——近世代数就此形成和发展起来。今天，群的概念不仅扩展到整个数学，而且广泛应用到物理、化学和其他领域中去了，可以说，没有群就不能理解近代数学。
2.非欧几何的建立与拓扑学的兴起
自从15世纪古典的欧几里得几何复兴之后，几何学的第五公设——平行公设一直是人们关注的焦点。它显得非同寻常，以致许多数学家为之绞尽脑汁，希望能从其他公理、公设推导出来。1826年，俄国数学家罗巴契夫斯基( Н.Н.Лобачсвский,1793—1856)另辟蹊径，认定第五公设是不能用数学证明的，并用一个与它相反的命题来代替，创立了非欧几何。1854年，德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann1826—1866)运用类似的方法创立了另一类非欧几何。非欧几何的出现是几何发展史上一个具有深远意义的事件，它开阔了人们的眼界，赋予空间概念以新的内容，使“空间”与极其丰富的现实内容相联系，反映着现实世界中某种与空间形式相似的量的关系。非欧几何特别是黎曼几何的研究，开辟了拓扑学研究的新领域。以往的几何学对图形的性质研究得十分精细，但在实际问题中许多问题却只与图形的拓扑性质有关。拓扑性质是指几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保留的性质，拓扑学就是研究怎样刻划不同的图形的拓扑性质以及拓扑分类问题的。二次大战后，拓扑学取得惊人的发展，成为包括组合拓扑、分析拓扑、点集拓扑在内的一门数学新分科，并渗透到所有数学领域，甚至物理学、化学、生物学也都受到它的影响。
3.分析理论的奠基与抽象分析学的创立
19世纪以前数学分析在不严格的情况下发展，进入19世纪这种状况开始改变，法国数学家柯西(A.L.Cauchy.1789—1857)开始将分析建立在严格的基础上，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分。最后由德国数学家魏尔斯特拉斯(K.Weier-strass 1815—1897)、康托(G. Cantor 1845—1918)等人相继完成了连续统的理论，为数学分析的严格基础奠定了基石。20世纪初，勒贝格(H.Lebesgue 1875—1941)创造性地提出了分割函数值区间取和式极限的新思想，建立了勒贝格测度和积分理论，它构成了现代分析的基础，也是泛函分析中不可少的概念。泛函分析形成于20世纪30年代，是研究无穷维抽象空间及其分析的学科。它建筑在函数空间概念的基础上，研究一般集合上的函数，泛函实际就是函数集合上的函数的意思。泛函分析是20世纪数学的一项重大成就，并在现代物理学中起着不可或缺的作用。
19世纪末到20世纪初是数学的一个激烈变革时期，经历这一洗礼的数学具有了以下三个特点和发展趋向：(1)研究对象日趋广泛，表述形式更加抽象；(2)不同分支交错发展，多种理论高度综合；(3)数学理论多方应用，边缘学科与日俱增。