数论函数shulun hanshu

也叫算术函数，是定义在正整数集合上的实值或复值函数.例如数列an,n!都是数论函数. 在初等数论中有下列几个常用的数论函数：除数函数d (n)(表示正整数n的正因数个数)，除数和函数σ (n) (表示正整数n的正因数的和)，欧拉函数φ (n)等. 此外，茂比乌斯函数μ (n)也是. 其定义如下： 当n=1时，μ (1) =1，当n是r个不同的质因数的乘积时，μ (n) = (-1)r，当n可被某个质数的平方整除时，μ (n) = 0. 例如，μ (2) =-1,μ (3) =-1,μ (6) = (-1)²＝1,μ (30) = (-1)³＝-1, μ (12) =0等. 有 μ (d) =1 (当n=1时) 或0 (当n>1时). 这里的求和表示取遍n的所有正因数d (包括1和n本身).
古典的茂比乌斯反演公式如下：
设f (n)和g (n)是两个数论函数，并且f (n)=则有反之也成立，即若后一个等式成立，则前一个等式也成立.
例如，对于欧拉函数φ (n)，有因而根据茂比乌斯反演公式有φ (n)
设f (n)是一个不恒等于零的数论函数，若(m,n)=1，就有f (mn)=f (m) f (n)，则f (n) 叫做可乘函数. 例如，茂比乌斯函数μ (n)是一个可乘函数，欧拉函数φ (n)，除数函数d (n)，除数和函数σ(n)也都是可乘函数.可乘函数有下列简单性质：若f (n)是可乘函数，则f (1) =1；若f (n),g (n)都是可乘函数，则f (n) g (n) 也是可乘函数.