方阵问题Fangzhen wenti

方阵排列问题在我国最早见于《孙子算经》(约四、五世纪)卷下第24题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积(注：总数)几何。”书中给出的解法为：“重置二位。上位减八，余加下位，至尽虚加一，即得。”也就是说，把已知的外周数量(32枚)分别写于上、下两个位置，在上位累次减8, 并把每次的余数加到下位上， 如果最后恰好减尽，就在下位再加1，这样，下位的总和就是这束方物的数量。例如对本题：
实际上，书中给出的解法对这类问题是普遍成立的，分析其原理， 我们发现：
方形物体（或平面上的方形点阵）的排列，相邻的两周，内周总比外周减少8个物体。对于一个每边有n(n≥3)个物体的正方阵，若n=2k (k为自然数)，则最外面一周共有4 (2k-1)个物体，经过k-1次每次减8的运算，将剩下一个由4个物体组成的心，累次求和的结果为 （即由外向内对各周求和）:
若n=2k+1 (k为自然数)，则最外面一周有4·2k=8k个物体，经过k-1次每次减8的运算，将剩下一个由9个物体组成的方阵，经过第k次相减，原来的8k已变为0，但中心的一个物体尚未参加运算，这就是其累次求和最后还要 “虚加一”的缘故， 结果为
因此， 不论n是奇数还是偶数， 书中的解法都是正确的。
当然，对于每边有n (n≥3)个物体的正方阵，其总数为n²是显然的，完全不必采用上面累减累加的烦琐方法。但是这种方法却有其独到的好处：当所给方阵是空心的时，只要知道了周数和外周上物体的个数，就可很快求出总数，进一步，对于任何一个长方形点阵，无需知道其长、宽各有多少点，只要它是空心的，知道了周数和外周上的点数，就可用同样的方法求出总数。当长方阵是实心的时， 情况稍有些复杂， 设其长为m个物体，宽为n个物体(m>n)，当n为奇数，去掉外面的各周之后，将剩下一列数量为m-n+1的点； 当n为偶数，去掉外面的各周之后，将剩下两列点，每列数量为m-n+2。
仿照同样的方法， 可以讨论三角阵或各种正多边形点阵中的点数，在那样简单的一个古代数学题中，包含的数学思想是丰富而有趣的。