正则连分数zhengze lianfenshu

有限连分数

或无限连分数

都叫做正则连分数.其中a₀是非负整数，n∈N时，a_n∈N.
任一个有限正则连分数，只要从最下面开始逐步化简，总能化成一个正有理分数p/q(p,q ∈N).故知有限正则连分数表示一个正有理分数.反之，任何一个正有理分数总可通过辗转相除的方法化为一个有限连分数，例如

自然数k亦可看成(k-1)+1/1.
对于无限正则连分数，不难用数学归纳法证出它的各个渐近分数p_n/q_n满足关系式：n≥2时

pn=anpn-1+pn-2, qn=an·qn-1+qn-2

其中q0＝1,p0=a0,q1＝a1,p1＝a0a1+1

由此可得

进而又可导出

由于任a_n>0,q_nq_n-₂>0，故知数列{p_n/q_n}中，n=2k-1(k∈N)之项递减，而n=2k-2(k∈N)之项递增.又

结合上段所述即知

再注意到对任何n∈N,qn≥n，知

所以

于是根据区间套定理知：p_n/q_n存在，即正则连分数一定收敛.由于有理数必能化成有限正则连分数，故无限正则连分数之值必是无理数.例如

可以证明：无限正则连分数的各个渐近分数中，n越大的与连分数的真值之差距越小.一般把初项a₀叫做这个连分数的一阶渐近分数，p_n/q_n就相应地叫做第n+1阶渐近分数.
还可以证明：无限正则连分数的任一渐近分数p_n/q_n，在分母不超过q_n的一切有理即约分数中是最接近连分数真值的.