075 正负开方术

以增乘开方法为主导求高次方程数值解的方法。为南宋秦九韶发展贾宪、刘益的成果所得。自谓“正负开方术”。今称“秦九韶程序”。11世纪贾宪首创增乘开方法。该法运算简捷，程序整齐，既可直接用于任意高次幂的开方，又可用于求高次方程的数值解。刘益进一步创造“益积术”、“减从术”解含有“负方”、“益隅”的方程：x²-bx=c、-ax²+bx=c(a、b、c均大于0),1247年，秦九韶在所撰《数书九章》中系统总结了贾宪、刘益的成就，并加以创新。将高次方程各项按未知数降幂排列，规定“实常为负”，相当于将常数项与含未知数的项放在同一边，这样正负相消可将增乘开方法随乘随加的过程进行到底。开方式的其它系数可正可负，不再有任何限制。给出了方程的根不是整数时的处理办法。发展了刘徽的“求微数”思想，在世界数学史上最早提出用十进小数表示无理根的近似值。从而秦九韶给出了求任意高次方程正实根的程序化方法，将增乘开方法发展到十分完备的程度。正负开方术是具有世界意义的成就。(意)鲁菲尼(P. Ruffini,1765-1822)和(英) 霍纳 (W. G. Horner,1786-1837) 各自独立地重新提出这种方法，已在秦九韶之后500多年。