理查兹方程Richards equation

描述生物种群消长的数学模型。范·伯塔兰菲(L.Von Ber-talanffy,1938,1957)最早提出动物体重的变化与合成和分解代谢速率成比例，在种群y<1/e时用这些过程的速率描述。理查兹(F.J.Richards,1959)将范·伯塔兰菲模型推衍为生长速度或瞬时速率即dy/dt随t而变的曲线，提出以下形式的可塑性生长模型：

dy/dt=rRy(1-y^m-1)/(m-1)

式中，rR为速率参数； m为斜率参数，其值可以从0到无限大。当m=0时，模型可转化为指数模型，当m=2时，则转化为逻辑斯蒂模型（见逻辑斯蒂模型），而m接近1时可转化变为冈伯茨模型（见冈伯茨方程）。因此，这是一个可塑性很强的模型（见图）。该模型的积分形式为：

理查兹模型曲线

A:m=0.0; B:m=1.0; C:m=2.0; D:m=2.7

y=[1-B exp (-rRt)]^1/(1-m) (m<1)
y=[1+Bexp(-rRt)]1^/(1-n) (m>1)

其线性方程为：

1n{1/[1-y^(1-m)]}=-1n(B) +rRt (m<1)
1n{1/[y^(1-m)-1]}=-1n(B)+rRt (m>1)

常数B也随m值而变。当m<1时，B=1-y₀^(1-m)，当m>1时，B=y₀^(1-m)-1，式中，y₀为y的初始值。本模型具有很好的适应性，可以用于植物病害流行动态描述。但由于m值不好确定，其实用性不如逻辑斯蒂模型或冈伯茨模型。