选择公理xuanze gongli

选择公理的一种形式是：设A是一个非空集族，即A={M}，它的元素M是互不相交的非空集合，则存在一个集合C，具有如下性质：


❷C与A中的每一个集M有唯一的公共元素.
集合C称为集合A的选取集合.
由于上述形式的选择公理是1904年由蔡梅罗提出来的，故称为蔡梅罗选择公理.
选择公理有多种等价的形式.例如1908年蔡梅罗在他的ZF公理系统中，就给出了与上述选择公理等价的一般化形式：设A是任一非空集合，则存在一个函数f，它具有如下性质
❶f的定义域(f)=P(A)-{Φ};

❷对于任何M∈(f)，总有f(M)∈M.通常把f称为选择函数.此公理可以这样来理解：对于任一非空集合A，总可以找到一个函数f，它从A的每个非空子集中选出一个唯一的元素.例如，设A={a,b}，则由f({a})=a,f({b})=b,f(A)=a给出的函数f就是一个选择函数；由g({a})=a,g({h})=b,g(A) = b给出的函数g也是一个选择函数.
承认选择公理，可以证明：对于任意的集合X，都可赋以适当的元素间的有序关系，使X成为良序集.即任何集合都可良序化.