乘除捷算口诀

宋元数学创造之一。随着商业的发展，人们需要的计算愈来愈多，愈来愈复杂，便开始简化运算程序。首先是设法变乘除法三行布算为一行布算，并化多位乘除为一位乘除，这就是乘除捷算法。唐中叶起出现了许多关于这种简化工作的著作。王应麟《玉海》云：“江本撰《三位乘除一位算法》二卷，又以一位因、折、进、退，作《一位算术》九篇，颇为约简。”可惜这类著作大都已佚，只有《韩延算术》被宋人误认为《夏侯阳算经》而刻印流传到现在。赝本《夏侯阳算经》中有若干化多位乘除为一位算法的例题，如a×2.45=a×7×7÷10÷2.当乘除数首位是1时，用身外加减法代乘除化为一位布算。当乘除数首位不是1时，人们创造了许多方法将其化为1，叫作求一术，有的还编成歌诀，如龙受益便撰有《求一算术化零歌》。北宋沈括《梦溪笔谈》中谈到的重因等方法就是乘除捷算法。南宋杨辉总结了唐宋人民的创造，在《乘除通变本末》(公元1274年)中系统叙述了加法代乘五术、减法代除四术、求一代乘除法以及九归捷法等捷算法。求一代乘除法以歌诀的形式出现，比如求一乘歌：“五、六、七、八、九，倍之数不走。二、三当折半，遇四两折纽。倍、折本从法，实即反其有。用加以代乘，斯数足可守。”求一除歌与此类似。杨辉在当时流行的九归(即除数为1，2，3，……9的一位除法，除数为一位的除法叫归)古括基础上，添注了32句新的口诀。元朱世杰《算学启蒙》(公元1299年)提出更为简捷的九归口诀，与流传至今的珠算口诀大致相同：“一归如一进，见一进成十。二一添作五，逢二进成十。三一三十一，三二六十二，逢三进成十。四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四进成十。五归添一倍，逢五进成十……九归随身下，逢九进成十。”朱世杰、丁巨、贾亨等又发展了归除、撞归方法及其歌诀。归除是除数为二位以上的除法。如除数为83，便称为八归三除。撞归是解决除数与被除数首位相同而被除数后面几位数字小于商与除数后面几位数字的乘积的情况的方法。贾亨将朱世杰、丁巨有关方法编成歌诀：“唯有归除法更奇，将身归了次除之。有归若是无除数，起一回将原数施。或值本归归不得，撞归之法莫教迟。若还识得中间法，算者并无差一厘。”何平子将撞归口诀改为：“(二归)见二无除作九二，(三归)见三无除作九三，……(九归)见九无除作九九。”有了撞归歌诀后，唐宋相传的求一法等捷算法遂被淘汰。汉魏人们常用微数单位表示整数之后的奇零部分。唐中叶之后，十进小数产生，十进位的度量衡制度表示的数量很容易表示成十进小数。然而对非十进的，比如一斤十六两，计算显得麻烦。人们便创造了化两求斤法的歌诀。杨辉《日用算法》(公元1262年)、朱世杰《算学启蒙》都作了总结。后者与斤两改为十进之前的珠算口诀基本一致：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五，十五留九三七五”，即一两=0.0625斤，二两=0.125斤，三两=0.1875斤，……十五两=0.9375斤。筹算乘除口诀的产生完善导致了新的矛盾，口诵口诀很快，手摆算筹很慢，得心难以应手，促使人们创造新的计算工具。珠算盘应运而生，而筹算乘除口诀的完善准备了珠算诞生并取代筹算的算法条件。