勾股数

满足勾股方程a

2

+b

2

＝ c

2

的有理数组(a，b，c)称为勾股数，西方称为毕达哥拉斯数。古希腊的毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得等大数学家都试图找出能满足上述方程的所有数组的表达式，即勾股数通解公式，但都只是分别给出了一部分勾股数的表达式。世界上第一次给出勾股数通解公式的是中国《九章算术》(公元前一、二世纪成书)。其勾股章二人同所立问：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行。甲南行十步而邪东北与乙会。问甲、乙行各几何?”《九章算术》的解法是先求出邪行率即弦率、南行率即勾率、东行率即股率，然后利用今有术求解。求三率的方法是：

术曰：令七自乘，三亦自乘，并而半之，以为甲邪行率。邪行率减于七自乘，馀为南行率。以三乘七为乙东行率。

设(a+c)：b=m：n，此即表示

在m，n为两互素的奇数的条件下，上式便是勾股数通解公式。《九章算术》应用此式的两个题目，其m，n均为互素的两奇数。公元3世纪，刘徽用出入相补原理证明了上式。西方认为第一次求得勾股数通解公式的是丢番都，大约与刘徽同时，且公式不完整。《九章算术》另外两个解勾股形问题含有公式

(b-a)：c=p：q，(c-a)：(c-b)=r：s，则就是勾股数通解公式的另外两种表达式。