增乘开方法

又称递增开方法，或梯法开方法，古代重要数学方法。11世纪上半叶贾宪首先提出。后来阿拉伯地区也出现类似方法，而欧洲则是19世纪初先后由意大利鲁菲尼与英国霍纳提出的，因而称为鲁菲尼―霍纳法或霍纳法。增乘开方法不是一次运用贾宪三角的各廉，而是采用随乘随加的方式，达到异曲同工的目的，因而更简捷，也更具程序化，从而把我国开方术的研究推向一个新的阶段。12世纪刘益提出减从术与益积术，求带有负系数的方程的正根，其中减从术与增乘开方法较为接近。13世纪秦九韶著《数书九章》，提出正负开方术，以增乘开方法为主导，用以解决有理数范围之内的任意系数的方程的正根问题，把高次方程数值解法发展到十分完备的程度，今之计算数学中称为“秦九韶程序”。他规定被开方数恒为负数，相当于将方程常数项移到左端，写成f(x)-A=0的形式，其中A0，f(x)为最低次数为二次的多项式。他还针对开方过程中常数项绝对值增大或变号的问题提出了处理意见。李冶、朱世杰也处理了这方面的问题，他们的方程对常数项不作任何规定，更具有一般性。他们还提出之分法，是处理某些特殊情况的简便方法。增乘开方法在明朝失传。清乾嘉时期，宋元数学复兴，汪莱、李锐研究秦九韶、李冶的著作，首先认识到有的方程不只一个正根，进而讨论根与系数符号变化的关系，提出与笛卡儿符号法则等价的判别法则。李锐还认识到方程可能有重根、负根，并指出，同求正根一样，求负根也可以用增乘开方法。

数学术语。北宋贾宪在《黄帝九章算经细草》中创造的一种开方方法。列出开方式的实、方、各廉、下法，商得得数，以上商乘下法入下廉，自下而上随乘随加，至乘上廉入方，减实;再以上商乘下法入下廉，自下而上随乘随加，至方，递低一位而止，得出减根方程，再求商的第二位得数。这样的运算原则，不论是开平方、开立方以至高次方及任意高次数字方程都是一致的，因而整齐简便更具程序化。贾宪有一个开递增三乘开方法的程序：如＝34的细草便是：

增乘开方法的创造是宋元数学高峰的主要标志之一，关于它的研究成为宋元数学的最重要课题。西方迟至十九世纪初才由意大利的鲁菲尼、英国的霍纳分别创造了同类的方法。