大衍总数术

古代重要数学方法，民间称为秦王暗点兵、韩信点兵、鬼谷算、隔墙算等，即今之一次同余式组解法。给定一个正整数m，如果二整数a，b之差被m整除，就说整数a，b对模m同余，记作a≡b(modm)。《孙子算经》物不知数问：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”用现代符号写出，就是求满足同余式组N≡2(mod 3) ≡ 3(mod 5) ≡2( mod 7)的最小正整数N。这是世界上最早的同余式组问题。《孙子算经》的解法是N= 2×70 + 3×21 + 2×15-2×105 = 23。这是因为70 = 2×5×7≡1( mod 3)，21= 3×7 = 1( mod 5)，15 = 3×5≡1( mod 7)。可见《孙子算经》的作者在一定程度上懂得了剩余定理。中国古代制定历法要计算上元积年，也需求解一次同余式组。但是，“历家虽用，用而不知”，有的还认为是解线性方程组问题。秦九韶精通数学和历法，他提出了同余式组的正确解法。设A

i

(i=1，2，…n)是互素正整数，正整数R

i

i

(i = 1，2，…n)，求满足同余组N≡R

1

( modA

1

)，i = 1，2，…n的最小正整数N。秦九韶的基本方法是：若能找到

韶设置一套用辗转相除的程序求乘率Ki，这就是大衍求一术，是大衍总数术的核心。在实际问题中，诸Ai不一定互素，甚至不一定是正整数，可能是分数或小数。秦九韶针对不同的情况，提出了将它们化约为定数的方法。由于中国古代没有素因数分解的概念，化约中走了许多弯路，甚至有失误，但毕竟基本成功地解决了这个问题。秦九韶是世界数学史上第一个系统解决同余式问题的数学家，近代数学大师欧拉、高斯等才接近或达到秦九韶的水平。

数学术语。南宋秦九韶《数书九章》中提出的一次同余式组解法，因首先用之于解决《周易》中的大衍之数而得名。《孙子算经》的物不知数问题便是一个简单的同余式问题。天文学家制定历法计算上元积年也要解同余式组。但是，“历家虽用，用而不知”，误以为是方程术。因此它“不载《九章》，未有能推之者”，一直未能形成数学的一个分支。秦九韶对上元积年的计算方法加以数学上的概括、提高，创造了系统的一次同余式解法。其基本思想是：设a

1

，a

2

，…a

n

两两无等数(即现今的两两互素)，求满足N≡R

i

(mod a

i

)，i=1，2，…n的最小正整数N(N≡R(mod a)的意义是，N以a、a数之余R，Ra，现今称N与R对模数a同余)。秦九韶称a

i

(i=1，2，…n)为定数，M=a

1

a

2

…a

n

为衍母，G=

(i=1，2，…n)为衍数。他认为，如果能找到一组数k

i

(i=1，2，…n)满足k

i

G

i

≡1(mod a

i

)　i=1，2，…n，则N≡R

i

k

i

G

i

(mod M)便是所求。秦九韶称k

i

(i=1，2，…n)为乘率。因此，问题的关键是设法求出诸乘率。秦九韶进而提出了大衍求一术完满解决了求乘率问题。但是，实际问题中诸a

i

一般并不两两互素，甚至也不一定是整数，秦氏称之为问数，并将它们分成4类：一般正整数称为元数，小数称为收数，分数称为通数，10

n

(n=1，2，…)称为复数。秦九韶将收数、通数化成元数。而对元数和复数则提出了求总等化约术、连环求等化约术及求续等化约术三种基本算法，化成定数。它们两两互素，且各定数是相应问数的因子，而诸定数之积是诸问数的最小公倍数。秦九韶的方法尽管有不完善的地方，并且中国没有互素概念，求定数时走了点弯路，但他毕竟在中国也是在世界上第一次提出并基本解决了模数非两两互素的一次同余式组求解问题。后来欧拉在1743年、高斯在1801年才各自重新获得了与秦九韶同样的结果。