天元术

古代数学名词。列方程法。约始于十二世纪左右(西方十六世纪法国人韦达因提出使用数量符号被称为“代数学之父”)。金元时李冶《测圆海镜》、《益古演段》为现存最早系统叙述天元术之书。元代朱世杰《算学启蒙》、《四元玉鉴》均有运用天元术之记载。其方法为：立天元一为某某(即设未知数x)，依据所给条件列出两个相等天元式(即含此天元的多项式)，令二天元式相减，即得一天元开方式(一端为零之高次方程)。最后用增乘开方法求此方程正根。运算时常在正一次幂系数右旁记一“元”字(未知数)，或在常数项右旁记一“太”字(常数项)。系数为负时，在其个位数码上加一斜划。方程系数、常数项可正可负。十进小数之应用较比利时人斯台文早300余年。

宋、金、元数学家创造的一种重要数学方法，相当于今天之设未知数列方程的方法。原来，随着开方术的日臻完善，如何列出方程，日益成为困扰人们的问题。刘徽、王孝通等经过复杂的思维过程列出方程。经过许多代人的努力，终于建立了天元术。书简有缺，天元术的早期发展情况尚不清楚。元祖颐在《四元玉鉴后序》(公元1303年)中勾勒了其概况：“平阳(今山西临汾)蒋周撰《益古》，博陆(今河北蠡县)李文一撰《照胆》，鹿泉(今河北获鹿)石信道撰《钤经》，平水(今临汾)刘汝谐撰《如积释锁》，绛(今山西新绛)人元裕细草之，后人始知有天元也。”有人认为，蒋周是北宋人。可惜这些著作全都失传。目前所存使用天元术的著作仅有李冶《测圆海镜》(公元1248年)、《益古演段》(公元1259年)、朱世杰《算学启蒙》(公元1299年)、《四元玉鉴》(公元1303年)，此外沙克什《河防通议》、郭守敬《授时历》也用到了天元术。天元术的基本思路是：首先立天元一为某某，相当于今天之设未知数x为某某;接着根据问题的条件，列出两个等价的天元式，两者如积相消，便得到一个开方式，即今之方程，然后用增乘开方法求解。天元术的表示法经历了一个由低到高、由繁到简的过程。天元多项式像开方式一样，竖行排列，在一次项旁记一“元”字或在常数项旁记一“太”字，其他项的次数，由它们与元(或太)字的相对位置决定。在《测圆海镜》中，采用高次在上、低次在下的方式，在《益古演段》中则颠倒过来，采取与传统开方式一致的方式。如下图的天元式(用阿拉伯数字代替算筹)，在《测圆海镜》中表示x

2

+ 302

x

+27121 + 652320

x

(

-1

)+4665600

x

(

-2

)，若在《益古演段》中则表示x

-2

+302

x

-1

+27121+652320x+4665600x

2

。

后者是天元式表示的成熟方式。金元时代，人们已经完全掌握了天元多项式的加、减、乘法及除式为天元单项式的除法，掌握了指数运算及合并同类项等，并且，乘除数为天元单项式的乘除只要上下移动“元”字或“太”字即可。