代数基本定理daishu jiben dingli

在复数域里，一元n次方程(n≥1)至少有一个根.
这个定理最早是由德国著名数学家高斯1799年所证明的.由于这个定理是方程论的基础，方程论又是初等代数学中最主要的内容，所以称为代数基本定理.
根据代数基本定理，有这样的重要结论：在复数集里，一元n次方程有且仅有n个根(k重根当作k个根计算).证明如下：
设一元n次方程为

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n＝0(a₀≠0) (1)

由代数基本定理可知方程至少有一个根x1.则

f(x)=(x-x₁)q₁(x)=0

式中q₁(x)是n-1次多项式.
若n-1≥1，又可由代数基本定理知方程q₁(x)=0至少有一个根x₂.则

f(x)=(x-x₁)(x-x₂)q₂(x)=0

式中q₂(x)是n-2次多项式.
……最后可得

f(x)=(x-x₁)(x-x2)…

(x-x_n)q_n(x)=0

式中q_n(x)=a₀.
所以，方程(1)有且仅有n个根x₁,x₂，…，x_n.
由上述结论又可得出：若x₁,x₂，…，x_n是一元n次方程

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n＝0

的n个根，则多项式可以分解为如下n个一次因式的乘积

f(x)=a₀(x-x₁)(x-x₂)…(x-x_n).