016 勾股定理
中国传统数学中一个基本而又十分重要的定理。其内容为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。中国古代称直角三角形中较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦。因而得名。亦称商高定理。国外通常称“毕达哥拉斯(Pythagoras，前580—前500) 定理”。法国、意大利等国称“驴桥定理”。《周髀算经》开篇就给出勾股定理的一个特例：“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。”这是约公元前11世纪周公与商高的对话。接着在陈子测日法中给出其一般形式：“以日下为勾，日高为股，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日(观测者到太阳的距离)。”可见中国古代先民对勾股定理的认识十分久远。三国时赵爽在《勾股圆方图注》中、刘徽在《九章算术注》中都给出了证明。勾股定理在中国古代传统数学中占有十分重要的地位。许多问题的研究和理论的形成都是围绕勾股定理而展开、发展的。数千年来已逐渐形成了以勾股定理及其应用为核心的中国式几何学。
勾股定理gougu dingli
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图1，在△ABC中，
图1
图2
∠C=90°，则AC2+BC2＝AB2.
我国古代把直角三角形的较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.
勾方+股方=弦方.
这个定理称为勾股定理，勾股定理的证明，最早见于《周髀算经》赵君卿注里.据记载，周朝商高就谈到“勾玄三，股修四，径隅五.”就是“勾三、股四、弦五”之说，所以勾股定理也称商高定理.
这个定理也称为毕达哥拉斯定理.
勾股定理证明方法很多，如赵君卿注里记载的证法如图2.2ab+(b-a)2＝c2，化简为a2+b2＝c2.
类似以上拼图或分割的方法还有很多.如图3,(a+b)2-2ab=c2，化简为a2+b2＝c2.
图3
图4
欧几里得《原本》中是用全等三角形和面积证明的.如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,BC,CA为边向三角形外作正方形ABDE,BFGC,CHKA.作CL⊥DE于L，交AB于M.可证△AEC≌△ABK，矩形AELM=2△AEC，正方形CHKA=2△ABK，因此，矩形AELM=正方形CHKA.同理矩形BMLD=正方形BFGC.正方形CHKA+正方形BFGC=正方形ABDE，即AC2+BC2＝AB2.
勾股定理还可以用相似三角形等方法证明.如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，作CD⊥AB于D，可证△ADC∽△ACB.AC:AB=AD:AC,AC2
＝AB·AD，同理可证BC2＝AB·BD，所以AC2+BC2＝AB (AD+BD)，即AC2+BC2＝AB2.
图5
勾股定理
又称“毕达哥拉斯定理”。直角三角形斜边的平方等于两条直角边的平方和。最早出现于《周髀算经》中。
勾股定理
几何定理。内容为：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方的和。这个定理，西方称为毕达哥拉斯定理，据认为是毕达哥拉斯(公元前572～前497)首先给出了这个定理的证明。在中国古代，大约成书于公元前235年至公元前145年之间的《周髀算经》中，就有“故折矩以为句（勾）广三、股修四、径隅五”，“句（勾）股各自乘，并而开方除之，得邪至日”的记载，前者是定理的特例，后者则是定理的一般形式。三国时期的数学家赵爽给出了证明。此定理在中国发现的年代不可考，但无可怀疑地应在《周髀算经》成书之前。