可数集keshuji
设N是自然数集，如果集合A与N等价，即A～N，那么就称A是可数的.也就是说，一切同N等价的集合都是可数集.
由于自然数的特点是可以从它的最小数1开始，从小到大一个个排列起来，只要知道前一个数，就可以说出下一个数，虽然数不尽，但我们总是可以一直数下去，这就是“可数集”称谓的来由.
由可数集的定义可以得到，一个无限集合A是可数集的充要条件是：A可以写成序列形式
A={a1,a2，…，an，…}.
例如，设
是非负有理数集，可以用下面的方法把非负有理数排列出来| 非负整数 | 0, ↙ | 1, ↙ | 2, ↙ | 3, ↙ | 4, | …… |
| 分母是2的正有理数 | 1/2, ↙ | 3/2, ↙ | 5/2, ↙ | 7/2, | 9/2, | …… |
| 分母是3的正有理数 | 1/3, ↙ | 2/3, ↙ | 4/3, | 5/3, | 7/3 | …… |
| 分母是4的正有理数 | 1/4, ↙ | 3/4, | 5/4, | 7/4, | 9/4, | …… |
| 分母是5的正有理数 | 1/5, | 2/5, | 3/5, | 4/5, | 6/5, | …… |
| …… | …… |
| 按照上表中“↙”的顺序把这些数都排列起来就是： |
| 则非负有理数集 |
| 可写成 |
是一个可数集.用同样的方法可以证明负有理数集Q-是一个可数集；全体有理数集Q=
∪Q-是可数集.可数集有以下性质：
❶可数集的任何无限子集仍是可数的；
❷任意可数集A与有限集B的并集A∪B是可数集；
❸任意两个可数集A和B的并集A∪B是可数集；
此性质可推广为：任意n个可数集A1,A2，…，An的并集
是可数集.当n→∞时，并集
仍是可数的；❹任意一个可数集A与有限集B的笛卡儿积A×B是可数集；
❺任意两个可数集A和B的笛卡儿积A×B是可数集；
❻任意n个可数集A1,A2，…，An的笛卡儿积A1×A2×A3×…×An是可数集.