善织与远征Shanzhi yu yuanzheng

有关等差数列的研究，在中国最早的记载见于 《九章算术》。公元5世纪后期的 《张丘建算经》 中给出了一些新的结果。该书卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：快)。初日织五尺， 今一月日 (注： 30天), 织九匹三丈(注：古制，1匹=4丈，1丈=10尺)。问日益几何。”在这个问题中，已知等差数列的首项a₁＝5尺，项数n=30, 前30项的和S₃₀＝9×40+30=390尺， 求公差d。书中解法为： 置今织尺数， 以一月日而一(注： 相除)，所得倍之。又倍初日尺数，减之，余为实（被除数）。以一月日数初一日减之(在一月30日中减去第1日)，余为法（除数），实如法而一（作除法）。”这段话给出了已知a1、n、Sn的情况下求公差的一般公式
不难看出， 它是由下面的一般公式变形而得的：
该书卷上第32题利用了公式(2)的另一种变化形式。原题是： “今有与(注：给)人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱。与讫(注：完毕)敛聚与均分之(注：把所有分出去的钱收回来，再按人数平均分配)，人得一百钱， 问人几何。”在这个问题中， 已知首项a₁＝3，公差d=1，前
n项和S_n与项数n的商Sn/n=100，求n。我们请读者给出解答。
在12世纪印度数学家婆什迦罗的著作中，有一个与《张邱建算经》卷上22题十分相似的问题：“周王远征去夺取敌人的象，第一天行军2逾缮那，(注：印度古长度单位)，每天增加相同数量的行程。一星期内他行军80逾缮那， 每天增加多少？”
15世纪阿拉伯数学家阿尔 ·卡西(al-Kashi)的著作中给出的一个题目与《张丘建算经》卷上第32题更是惊人地相似： “人们走进果园，第一个人摘下一个石榴，第二人摘二个，第三个人摘三个，以后每人增加一个。后来，所有的石榴都摘完，平均分配，每个人得到六个石榴， 请问人数是多少。