已知边长作正五边形yizhi bianchang zuo zhengwu-bianxing

分析 假设正五边形ABCDE已作出，且AB=a(图1)，延长AB,DC交于F.则∠CBF=∠BCF=360°/5=72°.因此∠BFC=180°-72°×2=36°.连结AC.则∠ACB=∠BAC=∠CBF/2=36°. 由此△ABC∽△ACF.于是AC/AF=AB/AC.即AC²＝AB·AF.但是AC=CF=BF，所以AF=AB+BF=AB+AC.因此，AC²＝AB (AB+AC)，即AC²＝a(a+AC)，也就是AC²-a

·AC-a2=0,

所以

舍去负

值，所以

由于正五边形的边

和对角线的长已知，所以正五边形可求.

图1

图2

作法 ❶作AB=a(图2);
❷作AB的垂直平分线MN;
❸在MN上截取MP=a;
❹连结BP并延长至点Q，使PQ=a/2;
❺以B为圆心，BQ为半径作弧交MN于D;
❻分别以A,D为圆心，a为半径作弧交于E;
❼分别以B,D为圆心，a为半径作弧交于C;
❽连结B与C,C与D,D与E,E与A.则ABCDE就是所求的正五边形.