三面角的性质sanmianjiao de xingzhi

❶三面角的任何一个面角小于其他两个面角的和，而大于其他两个面角的差.

❷三面角的所有面角之和小于360°.

❸三面角的所有二面角之和大于180°，而小于540°.
如图1，若三面角S-A₁B₁C₁的三个二面角的大小分别为α,β,γ，则180°<α+β+γ<540°.
证 在三面角内任取一点P.过P点向平面A₁SB₁,B₁SC₁,C₁SA₁分别作垂线PF,PD,PE，垂足分别为F,D,E.过PD,PE作平面CDPE，交SC₁于C，则平面CDPE⊥平面B₁SC₁，平面CDPE⊥平面C₁SA₁.因此SC₁⊥平面CDPE.所以∠DCE为二面角A₁-SC₁-B1的平面角，设为r.在四边形CDPE中，因为∠PDC=∠PEC=90°，所以∠DPE+r=180°.用同样的方法可以作出二面角B₁-SA₁-C₁和A₁-SB₁-C₁的平面角∠EAF和∠DBF，设它们分别为α,β，则有∠EPF+α=180°和∠DPF+β=180°. 于是有∠DPE+γ+∠EPF+α+∠DPF+β=540°. 因此α+β+γ=540°-(∠EPF+∠DPF+∠DPE).但由于0°<∠EPF+∠DPF+∠DPE<360°，所以540°-360°<α+β+γ<540°，即180°<α+β+γ<540°.

❹设三面角的三个面角为α,β,γ，它们所对的

二面角分别为A, B, C, 则有

图1

图2

证 如图2，在棱SC₁上截取SC=1，过点C作平面A₁SB₁的垂线CD，垂足为D.过点C在平面A₁SC₁内作CA⊥SA₁于A，则DA⊥SA₁.所以∠DAC是二面角B₁-SA₁-C₁的平面角.同理，过C在平面B₁SC₁内作CB⊥SB₁于B，则∠CBD是二面角A₁-SB₁-C₁的平面角.在Rt△SCB中，CB=1·sinα=sinα.在Rt△SAC中，AC=1·sinβ=sinB.在Rt△CBD中，CD=CB·sinB=sinα·sinβ.在Rt△CAD中，CD=AC·sinA=sinβ·sinA. 因此sinα·sinB=

sinβ·sinA,

即

同理可证

所以

上面的公式叫做三面角的正弦公式.

❺设三面角的三个面角为α,β,γ，它们所对的二面角分别为A,B,C，则有

图3

证 如图3，在棱SA₁上任取一点A.过点A在平面SA₁B₁内作SA₁的垂线交SB₁于B，过点A在平面SA₁C₁内作SA₁的垂线交S_C1于C，连结BC，在△SBC中，由余弦定理有BC²＝SB²+SC²-2SB·SCcosα.在△ABC中，有

因为

所以

SB·SCcosα=AB·ACcosA+SA2

即

AB·ACcosA=SB·SCcosα-SA2.

因此

cosα-1,

于是有

所以

同理可证

上面的公式叫做三面角的余弦公式.