欧拉公式oula gongshi

若多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则

F+V=E+2.

证 设想这个多面体是先有一个面，然后将其他各面一个接一个地添装上去的.因为一共有F个面，因此要添(F-1)个面.
考察第Ⅰ个面，设它是n边形，有n个顶点，n条边，这时E=V，即棱数等于顶点数.
添上第Ⅱ个面后，因为一条棱与原来的棱重合，而且有两个顶点和第Ⅰ个面的两个顶点重合，所以增加的棱数比增加的顶点数多1，因此，这时E=V+1.
以后每增添一个面，总是增加的棱数比增加的顶点数多1，例如
增添两个面后，有关系E=V+2;
增添三个面后，有关系E=V+3;
……
增添(F-2)个面后，有关系E=V+ (F-2).
最后增添一个面后，就成为多面体，这时棱数和顶点数都没有增加.因此，关系式仍为E=V+ (F-2).即

F+V=E+2.

这个公式叫做欧拉公式.它表明2这个数是简单多面体表面在连续变形下不变的数.