两个平面垂直的性质定理liangge pingmian chuizhi dexingzhi dingli

若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面.

图1

如图1，若α⊥β,α∩β=CD,AB⊂a,AB⊥CD，则AB⊥β.

图2

由上述定理还可推出：
❶若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
如图2，若α⊥β,P∈α,P∈a,α⊥β，则a⊂α.

❷若两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.
如图3，若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=AB，则AB⊥γ.

图3

证 过直线AB上任一点A，作AB′⊥γ，垂足为B′.因为A∈α,α⊥γ，根据上面的性质可知AB′⊂α.同理可证AB′⊂β.所以AB′一定与AB重合，即AB⊥γ.

❸若两个平行平面中的一个平面和第三个平面垂直，则另一个平面也和第三个平面垂直.
如图4，若α∥β,α⊥γ，则β⊥γ.

图4

证 在a内作直线a垂直于α和γ的交线.
因为α⊥γ，则α⊥γ.过α和β内任一点B作平面δ和β交于b.因为α∥β，所以a∥b.因此b⊥γ.所以β⊥γ.
以上性质主要应用在判定两条直线垂直，直线与平面垂直，或进行有关的计算方面.