两个平面平行的性质定理liangge pingmian pingxing dexingzhi dingli

定理1 若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.

图1

图2

图3

如图1，若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b，则a∥b.
定理2 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.
如图2，若α∥β,l⊥a，则l⊥β.
定理3 夹在两个平行平面间的平行线段相等.
如图3，若α∥β,AB∥CD,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β，则AB=CD.
根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
此外，还有：
❶经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.

❷若一条直线和两个平行平面中的一个相交，则它和另一个也相交.

❸若一个平面和两个平行平面中的一个相交，则它和另一个也相交.

❹平行于同一个平面的两个平面平行.

❺过已知平面外一点且平行于该平面的直线，都在过已知点平行于该平面的平面内.
它们的主要应用是证明两条直线平行或直线和平面平行.
例 求证：两条直线被三个平行平面所截，所截得的对应线段成比例.
已知 直线AC和DF分别被三个平行平面α,β,γ截于A,B,C和D,E,F(图4).

图4

求证

证 设过点A与DF平行的直线分别与平面β和γ交于G,H，则平面ACH∩β=BG，平面

ACH∩γ=CH.

因为β∥γ，所以BG∥CH.因此

过AH与DF的平面与α,β,γ的交线分别为AD,GE,HF.因为α∥β∥γ,AH∥DF，所以AG=DE,GH=EF.

因此

这个定理叫做平行平面截线定理.