费尔马点feierma dian

在三角形内部的正等角中心.若在△ABC的外边作正三角形△BCA′,△CAB′,△ABC′，则AA′,BB′,CC′三线共点.这个点叫做△ABC的正等角中心.当△ABC三个内角均小于120°时，它的正等角中心在三角形内.
以上性质分三种情况说明.

图1

图2

❶若△ABC有一个角是120°，如图1,∠BAC=120°.显然AA′,BB′,CC′交于120°角的顶点A.

❷若△ABC各角均小于120°.如图2，设BB′,CC′交于△ABC内部一点O.连结OA,OA′，不难证明△ABB′≌△AC′C.故A与BB′,CC′等距，OA平分∠B′OC′.又∠AB′ O=∠ACO,A,B′,C,O四点共圆.∠COB′=∠CAB′=60°,∠BOC=120°，又∠BA′C=60°，所以O,B,A′,C四点共圆.由A′B=A′C，推知OA′平分∠BOC.可知A,O,A′在一条直线上.即AA′,BB′,CC′交于O点.

❸若△ABC有一个角大于120°，如图3,∠BAC> 120°.这时BB′,CC′交于△ABC外一点O.连结OA,OA′.仿
❷可证OA,OA′均平分∠BOC.所以OA,OA′重合，即AA′.BB′,CC′交于点O.

图3