064 贾宪三角

开方作法本源图之今称。它是指数为正整数的二项展开式的系数构成的三角形数表 (见图)。西方称之为帕斯卡(B. pascal,1623-1662)三角形，但11世纪上半叶贾宪在其所著《释锁》中已首先提出，早于西方600多年。《释锁》已失传。南宋杨辉所撰《详解九章算法》载有此图，并自注：“出《释锁》算书，贾宪用此术。”使这一重要成就得以流传至今。贾宪三角最初是用来开方的，故称“开方作法本源图”。数表下的注文中“左袤乃积数，右袤乃隅算。中藏者皆廉”，讲其结构与在开方术中的作用。“积”、“隅”、“廉”分别指二项展开式中aⁿ、bⁿ与中间各项的系数。“以廉乘商方，命实而除之。”讲用各行系数随乘随加进行开方的方法。对于任意n∈N，表中横向第n+1行是 (a+b)ⁿ展式各项系数，斜向第n+1行构成n阶等差数列。贾宪三角在数学的许多领域都有重要应用。可用来展开以任意正整数为指数的二项式； 直接作任意高次幂的开方，其过程比《九章算术》中传统的开方方法简便得多。进而开辟了求高次方程的数值解的新途径——增乘开方法。亦可用于高阶等差数列求和。对于宋元及其以后数学的高度发展有重要的开创性的奠基作用。是数学史上的重大发现之一。