刘徽原理

刘徽提出的解决体积问题的基础性原理，它的证明含有深刻的极限思想。《九章算术》提出了阳马(直角四棱锥)体积公式V=1/3abh，鳖?(四面皆为勾股形的四面体)的体积公式V=1/6abh，其中a，b，h分别是长、宽、高。刘徽认为，用棋验法及有限次分割和出入相补，无法证明这两个公式，只好另辟蹊径。他首先提出：将一个堑堵(沿长方体相对两棱斜解所得的楔形体)分解成一个阳马与一个鳖?，则“阳马居二，鳖?居一，不易之率也。”即在堑堵中恒有v阳马：V鳖?=2：1。这就是刘徽原理。显然，只要证明了这个原理，由堑堵体积为1/2abh，则阳马、鳖?体积公式的正确性是不言而喻的。为了证明这个原理，他用互相垂直的三个平面平分堑堵的长、宽、高，则阳马分成一个小长方体、两个小堑堵、两个小阳马，鳖?分成两个小堑堵、两个小鳖?。它们可以重新拼成四个全等的小长方体。容易证明，在其中三个小长方体中，属于阳马与鳖?的体积之比为2：1，第四个小长方体的情况尚未知。然而，第四个小长方体中两小堑堵的结构与原堑堵完全相似，对它们可以重复刚才的分割，又可以证明其3/4中属于阳马与鳖?的体积之比为2：1。这个过程可以无限继续下去，第n次分割，未证明刘徽原理成立的部分为1/4n。显然lim1/4n=0，所谓“半之弥少，其余弥细。至细曰微，微则无形。由是言之，安取余哉?”换言之，在整个堑堵证明了刘徽原理。刘徽将其他多面体分解成有限个长方体、堑堵、阳马、鳖?，求其和以解决其体积问题，从而将多面体之体积理论建立在这个原理基础之上，正如刘徽自己说的：“不有鳖?，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。”这种把四面体看成多面体体积理论的关键的思想与现代数学的多面体理论完全一致。现代数学大师高斯(1777～1855)曾提出一个猜想：四面体体积理论的解决不借助于无穷小分割，是不是不可能的。这个问题成为著名的希尔伯特数学问题的第三个问题。刘徽早在其前1600年就已经着手解决这个问题了。