哥德尔

美籍奥地利数理逻辑学家，对数理逻辑有重大贡献。主要著作有《逻辑函项公理的完全性》、《论数学原理及其相关系统的形式不可判定命题》、《论形式数学系统的不可判定命题》、《选择公理和广义连续统假设同集合论公理的一致性》、《罗素的数理逻辑》、《什么是康托尔的连续统问题?》等。

哥德尔在1930年证明了一阶谓词演算的完全性定理：在一阶谓词演算中，任一公式A，或者A是可证的，或者非A是可满足的(而且是在可数个体域中可满足)。这个定理表明，一阶谓词演算中的每一个普遍有效式都是可证的。哥德尔的这个定理对于模型论的产生和发展有很大影响。由于无法能行地判定一阶谓词演算公式的有效性，所以这个定理只是从理论上证明了一阶谓词演算的完全性，而不能提供证明有效公式的方法。哥德尔完全性定理的证明，标志着数理逻辑基础部分的最后完成。

哥德尔在1931年证明了形式数论系统的不完全性定理，这个定理由两个定理组成：(一) 一个包括初等数论的形式系统p，如果p是一致的，那么它就是不完全的。这被称为第一不完全性定理。(二) 形式数论系统的一致性的证明不可能在形式数论系统中实现。这被称为第二不完全性定理。哥德尔不完全性定理表明希尔伯特(David Hilbert 1862―1943)的形式纲领无法实现，有重要的哲学意义。

哥德尔在1931年的论文中第一次给出了实际上是原始递归函数的严格定义，并提出了能行可计算性和递归性的关系问题，使他成为递归论的创始人。他在证明他的不完全性定理时创立的名为“哥德尔编码”的算术化方法，在递归函数论中有着广泛的应用。

哥德尔在1938―1939年证明了选择公理和广义连续统假设对集合论公理的相对无矛盾性，即如果ZF系统是协调的，那么在ZFC系统中，不能对广义连续统的假设作出否证。他的这一成果对公理集合论以及模型论有重大影响。