圆周率

即圆周长与直径之比，古代称作圆的周径相与之率，或周率与径率。《墨子》时代，人们已认识到圆的周径之比是一个常数。《九章算术》没出现周径相与率的概念，从例题看实际上使用周三径一。刘徽在严格证明了《九章》的圆面积公式“半周半径相乘得积步”之后指出：“此以周径，谓至然之数，非周三径一之率也。”因此需求此至然之数，即圆周率。刘徽用割圆程序及勾股定理，从直径为二尺的圆内接正6边形开始割圆，求出正12边形边长。由此反复求之，依次求出正24、48、96边形的每边长及正96边形的面积S

4

＝313 584/625寸

2

，正192边形的面积S

5

＝314 64/625寸

2

，而S

5

-S

4

＝105/625寸

2

，因此S

4

+2(S

5

-S

4

)=314 169/625寸

2

，故取S=314寸

2

作为圆面积的近似值。由圆面积公式S =1/2L

r

，反求出L=628寸，于是周率157，径率50，相当于π=157/50=3.14。刘徽认为，此值中，周率犹为微少，进而求出周率3927，径率1250，相当于π=3927/1250=3.1416。南朝宋齐祖冲之“以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，?数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈?二限之间。密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五;约率：圆径七，周二十二。”这相当于3.1415926<π3.1415927，密率π=355/113，约率π=22/7，其中密率是分母小于16604的一切分数中的最佳分数。它在欧洲常称为安托尼兹率，是荷兰工程师安托尼慈在1585年前后得到的，比祖冲之晚了1100年。