布尔代数

又称“逻辑代数”，是英国数学家、逻辑学家布尔(George Boole)1815―1864所创立的一个代数系统。布尔认为，逻辑关系和某些数学运算甚为类似，代数系统可以有不同的解释，把解释推广到逻辑领域，就可以构成一种思维的演算。他在其著作《逻辑的数学分析》(1847年)及《思维规律》(1854年)中引进了逻辑代数的基本概念，构成了一个抽象代数系统。用这种系统可以较容易地处理传统逻辑所不能处理的逻辑问题。布尔对他的代数系统给出了四种解释：一种是类的演算，两种是命题的演算，一种是概率演算。

经过后来数学家的进一步改进，布尔代数成为如下的一个数学系统：设B是一个至少有两个元素的集合，其中定义两种运算：+ (逻辑加法)， *(逻辑乘法)，B中元素对于这两种运算，如果满足下面公理：对任意的x，y，z∈B。

公理1：x+y=y+x; x*y=y * x;

公理2： x * (y+z)=(x * y) + (x * z);

x+ (y * z)=(x+y) * (x+z);

公理3： B中有元素0和1满足：

x+0=x;x *1=x;

公理4：对任意x∈B，有x′∈B，使

x+x′ =1;x * x′ =0;

则称B为一个布尔代数。

例如，令B={0，1}，让1表示真命题，0表示假命题，定义+运算如下：

0+0=0;0+1=1;1+0=1;1+1=1;

定义*运算如下

0 * 0=0;0 * 1=0;1 * 0=0;1 * 1=1;

则它表示的就是一个命题代数的系统。由于有1+1=1，它不同于一般的代数系统。

在布尔代数的基础上，人们又发展了开关代数。

开关代数在组合电路、电路网络中有极大的应用价值。