测圆海镜

古代数学经典著作。元李治著。共十二卷。成书于1248年。古称建立方程的过程为“造术”，解方程的过程为“开方”，该书重点在于造术，其方法称为“天元术”。该书给出的天元开方式简明准确，是一种符号数学，为对古代传统的数字数学的本质上的突破。“天元术”及稍后的“四元术”构成了我国独特风格的代数学或方程论，在世界数学史上占有重要的地位(西方直到16世纪后半叶才出现了以字母符号表示未知数的方程)。该书为我国现存最早的系统论述天元术的著作，是了解13世纪中叶我国数学概况的珍贵史料。由于程朱理学的影响，该书竟濒于失传，虽有明顾应祥《测圆海镜十术》十卷(1550)，但由于作者对天元术无知，只给出了开方细草，而将有关天元术之精华部分删除。直到18世纪西方数学传入后，清代数学家才认识到该书之重要。阮元称之为“中土数学之宝书”，李善兰赞之曰“中华算书实无有胜此者”，并撰有《测圆海镜解》。现有清《知不足斋丛书》刻本(1798)流传。

数学著作。现存最古系统论述天元术著作。金、元时李冶著。成书于1248年。12卷，170问。所论之题均为已知直角三角形中各线段而求内切圆、旁切圆直径问题。卷1列“圆城图式”(如图)为15个相似勾股形及各种容圆问题，与170问皆有关。于“图式”、“名号”后，列出图中各线段间各线段和、差、积之间相互关系，分7类692条，每条为一几何定理。经证明，讹误仅8条。在现存古代数学著作中，此书最早叙述了“天元术”――中国古代列方程的方法。

(圆城图式)

古算书名。十二卷，元李冶(公元1192～1279年)撰(公元1248年)。李冶，原名李治，字仁卿，号敬斋，真定栾城(今河北省)人，金元著名数学家、历史学家。出身于书香门第，少年即以诗文名重中原。金正大七年(公元1230年)中词赋科进士，旋权钧州知事。1232年蒙古军破城，遂微服北渡，隐居于今山西省北部忻、一带，在极其困若的条件下，以研究数学等学问为乐十几年，1248年完成《测圆海镜》。1251年回到元氏县封龙山，主持封龙书院。元主忽必烈闻其名，两次召见他，他陈述了治国、用人的精明见解，被授以翰林学士，同修国史。李冶羞于作御用文人，以老病为辞归山。1259年完成《益古演段》三卷。李冶反对数学的不可知论，认为“谓数为难求，斯可;谓数为不可穷，斯不可”。他反对社会上轻视数学的偏见，表示不计别人悯笑，坚持研究数学。所著文史著作亦甚多，现仅存《敬斋古今?》，并附《泛说》的少数引文。《测圆海镜》以圆与15个勾股形的关系为基础展开。勾股容圆问题最先见于《九章算术》勾股章，到宋金时代，发展成为洞渊九容，即九个容圆公式。李冶以此为基础演绎成170问，取天临海镜之义，遂成《测圆海镜》。全部问题的问、答皆相同，只是题设各异。天元术即设未知数列方程的方法是解决这些问题的最主要方法。《测圆海镜》是流传至今的最早全面使用天元术的著作，这是该书的主要价值所在。天元式即今之多项式，书中列方程的过程含有天元多项式的加减乘除运算。此书卷一首先给出圆城图式，以天、地、乾、坤、日、月、山、川、东、南、西、北等汉字表示点，是个创举。“总率名号”给出了各线段的名称，“识别杂记”则提出了692条命题，除个别的外，都是正确的，相当于定理，表明了李冶时代人们丰富的几何知识，也是全书的理论基础。后面170个问题，都要用到这些知识。《测圆海镜》在李冶去世后不久即刊刻，此版今已不传。北京图书馆藏有一部元抄本。明数学落后，顾应祥研究《测圆海镜》，买椟还珠，对天元术不理解，将其全部删除，贻千古不知而作之讥。清修《四库全书》，以李潢家藏本略加校勘收入。1797年，李锐据《四库全书》本和元抄本重新校勘，鲍廷博刻入《知不足斋丛书》，以后诸本，均据此刊刻，成为最通行的版本。