同余问题Tongyu wenti

整数m₁与m₂，称为模整数n同余， 如果m2-m1被n整除， 记作m1≡m2(modn)模n同余是整数集合的一个等价关系，就是说同余关系满足： ❶自反性， 即对任意整数m, m=m(modn);
❷对称性，即若m1≡_m2(modn)，则m2≡m1,(modn),
❸传递性， 即若m1≡m2(modn),m2≡m3(modn), 则m₁≡m₃ (modn) 模n同余把整数集合划分为n个等价类， 称为同余类。同 一类中的数彼此间模n同余。每一类中都可以选取一个介于o与n-1之间的数作该类的代表元素， n个同余类可以借助这些代表元表示为,i…， 。其中表示所有被n整除的数构成的同余类， ī表示所有被n除余1的数如1,n+1,2n+1等构成的同余类，如此等等。若m是任意整数，则表示m所在的同余类，就是说一个同余类中的任何一个数都可以作为该类的代表。同余是整数理论的重要基础和组成部分。由同余可以引出许多深浅不一但都妙趣横生的数学问题。
例(第一届“从小爱数学”邀请赛):从起点起，每隔1米种一棵树（如图）。如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位）。这是为什么？
答： 模2同余把全体整数分成两个同余类一类全是奇数，另一类全是偶数。不管木牌怎样挂、三棵挂牌小树到起点的距离米数（三个数） 中至少有两个属于同一个模2同余类， 据同余定义，它们的差被2整除，即至少有两棵挂牌小树之间的距离为偶数。
此例表明，前面的奇、偶问题不过是同余问题当n=2时的特例。