向量的坐标表示xiangliang de zuobiao biaoshi
在空间直角坐标系中，分别取与X轴、Y轴、Z轴方向相同的三个单位向量i,j,k作为坐标基底，则对于任一向量a，存在唯一确定的有序实数组 (x1,y1,z1)，使a = x1i+y1i+ z1k，如图所示. (x1,y1,z1)叫作a在取定的坐标基底下的坐标，x1,y1,z1分别叫a在X轴、Y轴、Z轴上的坐标分量.
若向量a是点A的位置向量，显然此时点A的坐标就是向量a的坐 标，即A (x1,y1,z1 ),a= (x1,y1,z1).
特别地，i=(1,0,0),j= (0,1,0),k=(0,0,1),0=(0,0,0).
由于a恰为以x1i,y1j,z1k为棱的长方体的对角线，所以a的模长为
设a= (x1,y1,z1 ),b=(x2,y2,z2),c= (x3,y3,z3).
❶ 两向量和的坐标等于两向量相应坐标的和. a+b= (x1+x2,y1+y2,z1+z2).
❷ 两向量差的坐标等于两向量相应坐标的差. a—b= (x1—x2,y1—y2,z1—z2).
由于起点为M(m1,m2,m3)，终点为N (n1,n2,n3)的向量
N与N-M相等，从而
若M= (m1,m2,m3),N=(n1,n2,n3)，定比分点P的位置向量P= (P1,P2,P3)，且
则
从而 .
由向量线性表出的唯一性，得到
这与平面几何中的定比分点公式是一致的.❸ 数乘向量，所得向量的坐标等于用这个数乘原来向量的相应坐标. ka= (kx1,ky1,kz1).
❹ 两向量的数量积等于这两个向量相应坐标的乘积的和a ·b=x1x2+y1y2+z1z2.
向量a与b垂直的充要条件是x1x2+y1y2+z1z2 =0.
两非零向量a与b的夹角可用坐标表示为
用向量a的坐标表示其方向余弦
在仿射坐标基底 [O; e1, e2, e3]下，设a= (
1
| 则 |
这表明，a · b是a和b的坐标的齐二次式，任意一个关于
的齐二次式都可以看作是两个向量在某一仿射坐标基底下的内积. 并且，当仿射坐标基底取得最好 （正交） 时，相应的齐二次式最简单.❺ 两向量的向量积的坐标表示
注意到i×i=j×j=k×k=0,i×j=k,j×k=i,k×i=j，很容易得此结果.
向量a与b共线的充要条件是
| 或者 |
根据三阶行列式的性质，a×b还可表示为
用向量积的坐标表示两个非零向量的夹角
❻ 三向量的混合积的坐标表示为
当a,b,c成右手系时，行列式的值为正.
当a,b,c成左手系时，行列式的值为负.
三向量共面的充要条件是
❼ 空间四点A (x1,y1,z1),B (x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D (x4,y4,z4)共面的充要条件是
这是空间三向量
B,
C和
D的坐标转而用四点的位置向量的坐标表示的结果.