077 增乘开方法

宋元数学家创造的一种开方和求高次方程数值解的方法。古代传统开平方、开立方法是当时世界上最先进的开方法。但它不适用于任意高次幂开方。11世纪北宋贾宪在传统开方术的基础上，根据开方作法本源图的构造原理创造了增乘开方法。它不是一次运用贾宪三角中的系数，而是采用随乘随加的方法逐次得到减根方程，直到求出其根。其优点是简捷易行，程序整齐。且可推广用于任意高次幂的开方和求高次方程的数值解。在贾宪及其以前的传统数学中，方程的未知数系数与“实”皆为正数。其后的刘益首先突破这一限制，在《议古根源》中讨论了分别含有“负方”和“益隅”，即形如x²-bx=c和-ax²+bx=c(a、b、c均大于0)的两类方程。并给出一个用增乘开方法求益隅四次方程正根的例题。首开用增乘开方法求任何数字方程正根的先河。1247年南宋秦九韶创造性的继承和发展了贾宪、刘益的成就，给出求高次方程正实根的程序化方法，将增乘开方法发展到十分完善的地步。早于西方同类成果500多年。李冶、朱世杰对增乘开方法的发展亦有重要贡献。明初至清中叶400余年间，宋元数学的重大成就，如天元术、四元术、招差术、垛积术和增乘开方法等，不仅没有得到继承发扬，而且逐渐湮灭失传了。乾嘉年间编纂《四库全书》后，中国古典数学重新受到重视。焦循、汪莱、李锐研究增乘开方法颇有成就。使中国方程论成为较为完整的学科。参见32075正负开方术、32163汪莱、32164李锐。