微分weifen

是微积分的重要概念之一。设函数y=f (x)在点x₀的某个邻域内有定义。若函数y=f(x) 在点x₀的改变量Δy可以表示为

Δy =AΔx +o(Δx),　(1)

其中A与Δx无关而与x₀有关，则称函数f (x)在点x₀可微，ΔAx称为函数f (x)在点x₀的微分，记作dy |_x=x0＝ AΔx。
微分具有以下两个特点：
❶ dy=AΔx是Δx的线性函数，表达式简单。

❷ Δy-dy=o (Δx)，即Δy与dy相差一个比Δx高阶的无穷小量。换言之，用微分代替改变量，当|Δx|充分小时，不仅误差|Δy-dy|本身很小，更重要的是，其相对误差|(Δy-dy)/AΔx|可以任意小。所以，在式(1)右端，AΔx起主要作用。
上述的两个特点表明，微分dy是Δy的既简单而又具有一定精确度的近似表达式。
函数f(x)在点x₀可微的充分必要条件是f(x)在点x₀可导，且 (1) 中的A等于f′ (x₀)。
这表明，一元函数的可导与可微是等价的。函数y=f (x)在点x₀的微分可表示为dy|x=x₀＝ f′ (x₀) Δx。
若函数y=f (x)在区间I上的每一点都可微，则称f (x)为I上的可微函数。函数y=f (x)在区间I上的微分记作dy=f′ (x)Δx。d y既依赖于x，又依赖于Δx，而x与Δx是互相独立的两个变量。
通常约定，自变量x的微分dy=Δx。于是，

d y =f′ (x)dx,

从而有　。
记号dy/dx具有双重意义。作为整体记号，它表示f (x)的导数f′ (x)；作为运算记号，它表示函数的微分与自变量微分之比。因此，导数也称为微商。