九章算术

我国现存最早的数学专著。古代著名的《算经十书》中最重要的一部。原书出于众手，又经多人增删修改，其中有汉张苍、耿寿昌等，定型于1世纪前。全书收集了246个应用问题。这些问题以及它们的求解方法被分为方田(田亩面积计算)、粟米(食谷交易计算)、衰分(比例分配)、少广(由面积体积求边)、商功(工程计算、审议)、均输(赋役征税)、盈不足(盈亏类难题)、方程(联立一次方程解法)、勾股(直角三角形解法)等9大类，每类1章，故称“九章算术”。《分田》和《衰分》两章记述了当时世界上最先进的分数四则运算和分配比例算法。该书最重要的成就在代数方面，如《少广》一章中介绍了开平方和开立方的方法，其后章节记述了在此基础上发展的求解一元二次方程(二次项系数不为负数)的一般数值解法。《方程》一章中关于一次方程组解法的介绍比欧洲同类算法的记述早1500年;负数的概念和正负数加减法运算法则则是世界数学史上最早的记载。对不定方程等类应用问题的研究记述也较西方数学界早3个世纪。该书对周、秦、汉代数学发展给以完整系统的总结，标志着我国古代具有独特风格的数学体系的形成。自唐起，成为历代数学教本，日本、朝鲜也曾选其作教本。对后世数学发展有很大影响。该书现传本中最早的版本是南宋刻本，现藏于上海图书馆，其它各种版本多根据清戴震在编《四库全书》时从《永乐大典、》中抄出并作过校勘的本子，一般称戴校本。

算经十书之一。现存最古老数学著作。《周礼》中所谓“九数”乃《九章算术》滥觞，约公元前二世纪已有“旧文”，经西汉早期数学家张苍、耿寿昌等增删。流传至今的有晋人刘徽、唐人李淳风之注释本。书中有246个应用题及解法，涉及算术、初等代数、初等几何等内容。共分九章：方田(分数四则算法、平面求积法)、粟米(粮食交易算法)、比衰分(分配比例算法)、少广(开平方、开立方法)、商功(求体积法)、均输(管粮运输均匀负担算法)、盈不足(盈亏类问题解法等，西方早期称“中国算法”)、方程(联立一次方程解法和正负术)、勾股(勾股定理的应用、简单测量问题解法)。其中负数概念、正负数加减算法、分数算法、联立一次方程解法等均系具有世界意义之成就。对中国和世界数学界有巨大影响。此世界古代数学名著已被译成多种文字出版。

古算书名，《算经十书》之一，历来被尊为我国算经之首。魏刘徽认为“周公制礼而有‘九数’，九数之流则《九章》是矣”，后遭秦始皇焚书的破坏，汉北平侯张苍(?～公元前152年)、大司农中丞耿寿昌(公元前1世纪)“皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论者多近语也”。可见《九章算术》经历了长期发展积累整理的过程，而于西汉成书。全书分九章：(一)方田，各种面积公式，及世界上最早最完整的分数四则运算法则，共38个例题;(二)粟米，各种谷物的互换，提出了“今有术”等比例算法法则及经率术、其率术等法则，共46个例题;(三)衰分，提出衰分术和反衰术等比例分配法则，及若干算术杂题，共20个例题;(四)少广，已知面积、体积求其一边或直径的方法，其中开平方术、开立方术是世界上最早的多位数开方法则，共24个例题;(五)商功，各种体积公式，以及土石工程的分配问题，共28个例题;(六)均输，提出均输术等合理摊排赋税的比例分配法则，以及若干算术杂题，共28个例题;(七)盈不足，提出盈不足问题的解法法则，并用盈不足术求解各种其他算术问题，共20个例题，盈不足术传入西方后影响极大;(八)方程术，提出方程术即线性方程组解法法则，列方程移项的损益术，列方程、解方程中要用到的正负数加减法则，共18个例题;(九)勾股，包括勾股定理，各种解勾股形问题，以及简单测望问题，共24个例题。《九章》共近百条相当抽象的公式、解法，246个例题，许多方法居世界领先地位。它的主要部分或者先列出几个例题，再给出抽象性的解法(称作术)，或者先给出抽象性的解法(术)，再给出若干例题。这种术文统率应用问题的形式既不同于古希腊的公理化体系的著作，也不同于应用问题集的形式，是一个创举。《九章算术》构筑了中国古代数学体系的框架，确立了以计算为中心的特点和数学理论密切联系实际的长处。此后的中国数学著作，基本上以《九章算术》为楷模。《九章》成书后，注家蜂起。其中最著名、现存最早的是魏景元四年(公元263年)刘徽《九章算术注》。刘徽全面论证了《九章》的公式解法，驳正了《九章》的若干错误，建立了它的理论基础，在数学方法和数学思想上有若干独到的贡献。尤其是在证明圆面积公式和锥体体积公式时使用了极限思想和无穷小分割方法，在世界数学史上独树一帜;他创造了圆周率的正确求法，使我国在这一领域领先千余年;刘徽设计了牟合方盖，为祖冲之父子指出了解决球体积的正确途径。刘徽还提出了开方不尽求微数的思想，开后世十进小数之先河，等等。南朝祖冲之父子也研究过《九章》，可惜著作失传，主要成就不得而知。唐显庆元年(公元656年)李淳风等奉敕注释《九章》，此后刘、李注与《九章》本文一体行世。11世纪上半叶北宋贾宪著《黄帝九章算经细草》，创造了贾宪三角和增乘开方法。南宋杨辉撰《详解九章算法》(公元1261年)，其中《九章纂类》打破了《九章》的分类格局而以数学方法分类。北宋元丰七年(公元1084年)秘书省将《九章算术》与其他汉唐算经刊刻，是世界上第一次印刷数学著作。南宋嘉定六年(公元1213年)鲍?之翻刻了秘书省本，今存卷一一五，藏上海图书馆，1980年收入《宋刻算经六种》(文物出版社)。明初，《九章》被分类抄入《永乐大典》。清乾隆三十九年(公元1774年)，戴震从《永乐大典》中辑出《九章》，校勘后成为《四库全书》本和《武英殿聚珍版丛书》本的底本。后戴震又取南宋本的影写本重校，由孔继涵刻入微波榭本《算经十书》。嘉庆年间李潢又作校勘研究，撰《九章算术细草图说》。近人钱宝琮重加校点，收入中华书局1963年版《算经十书》。近年郭书春重加校勘，出版汇校《九章算术》(1990，辽宁教育出版社)。

科技类著作。西汉张仓、耿寿昌等整理删补而成。九卷。《隋书?经籍志》、《旧唐书?经籍志》、《新唐书?艺文志》、《宋史?艺文志》皆著录。今存。有西晋刘徽、唐李淳风注本，收入《四库全书》、《四部丛刊》、《丛书集成初编》等。是中国现有传本的古算书中最古老的数学著作。旨在解决当时社会生产和生活所提出的各种数学问题： 实行按田亩多寡“履亩而税”的政策，需要测量和计算各种形状的土地面积;征收赋税需要计算各种按比例的分摊数目;大型水利、土木工程需要计算各种形状的体积;商业和贸易的发展需要核算收支盈亏;日益进步的天文历法需要更加精确的计算方法等，本书正是从各类问题中，选出246个例题，有时是举出一个或几个例题以后，叙述解法;有时则是先叙述某种解法以后，再举出一些例题。其内容按解题的方法和应用的范围分为九类，每一类为一章，共九章。第一章“方田”(共38个例题)，阐述怎样计算田亩面积，包括有正方形、矩形、三角形、梯形、圆形、环形、弓形、截球体的表面积的计算(后两者的公式为近似公式)。还有关于分数的系统，并给出约分、通分、四则运算、求最大公约数等运算法则。第二章“粟米”(共46个例题)，阐述比例问题，主要是按比例互相交换各种谷物的一般公式。第三章“衰分”(共30个例题)，阐述依等级分配物资或按等级摊派税收的比例配分问题。第四章“少广”(共24个例题)，阐述由己面积和体积，反求一边之长，即开平方和开立方的方法，其中用算筹列出几层来进行开平方和开立方的运算，相当于列出一个二次或三次的数字方程，把筹算的位置制发展为用上下不同的各层表示一个方程的各次项的系数。在此基础上，后来逐渐发展成为具有世界意义的数字高次方程的解法。第五章“商功”(共28个例题)，阐述各种工程(城、垣、沟、堑、渠、仓、窖、窑等)中各项体积的计算方法，兼及按季节、劳力、土质的不同情况计算工程所需土方和劳力等问题。第六“均输”(共28个例题)，阐述按人口多少(正比例)、物价高低、路途远近(反比例)等条件，计算税收和摊派民工等，还包括复比例、连比例等比较复杂的比例配分问题。第七章“盈不足”(共20个例题)，阐述“有若干人共买东西，每人出八就多三，每人出七就少四，问人数和物价各多少”之类的假设求解的方法。因为此类问题一般都有两次假设，所以在其他国家的一些中世纪数学著作中称之为“双设法”。第八章“方程”(共18个例题)，阐述一次联立方程问题的解法(包括有二至六个未知数)，与现代中学代数课本中的“加减消元法”基本相同。当时是用算筹摆出方程的各系数。一个方程摆一个竖行，方程组中有几个方程就摆出几行，这也可说是筹算位置制的又一次新发展。本章还引入了负数(用红算筹表示正数，黑算筹表示负数;或者用正摆的算筹表示正数，斜摆的算筹表示负数)，并给出正负数的加减运算法则。第九章“勾股”(共24个例题)，按刘徽的注文解释，本章主要阐述利用勾股定理测量计算“高、深、广、远”的数学问题，是用测量数学解决绘画中的计算数值。本书的出现，标志着中国古代以算筹为计算工具的、具有自己独特风格的数学体系的形成，是举世公认的古典数学名著之一，不仅是中国人学习和研究数学的主要教科书，而且在世界数学史上占有重要的地位。它的内容包括了初等数学中的算术、代数以及几何学的主要部分，其中关于分数概念及其运算，比例配分及其运算，负数概念的引入和正负数的加减运算法则等，都比印度早八百年左右，比欧洲国家则早一千多年。关于联立一次方程组的解法，在印度最早的记载见于12世纪的巴斯喀拉(Bhaskara，约1150)，而欧洲则要迟至16世纪才出现正式记载。“盈不足”术传入阿拉伯国家，被称作“契丹算法”(即中国算法)，受到当地数学家的重视。《九章算术》在隋唐时被介绍到朝鲜和日本，并被定为数学教科书。