命题联结词的相互定义

数理逻辑共使用五个命题联结词：∧ (合取)、∨(析取)、→(蕴涵)、←→(等值)、?(否定)，但并不是每个联结词都是必不可少的。一个系统根据自己的需要，可以选择其中的两个作为初始的联结词，把其他三个通过定义的方式引入本系统。例如，在罗素的公理系统中，以∨和?作为初始联结词，其他三个联结词定义如下：A→B定义为(?A∨B)A∧B定义为?(?A∨?B)A←→B定义为合取、∨ (析取)、→(蕴涵)、←→(等值)、?(否定)，但并不是每个联结词都是必不可少的。一个系统根据自己的需要，可以选择其中的两个作为初始的联结词，把其他三个通过定义的方式引入本系统。例如，在罗素的公理系统中，以∨和?作为初始联结词，其他三个联结词定义如下：

A→B定义为(?A∨B)

A∧B定义为?(?A∨?B)

A←→B定义为(A←→B) ∧ (B→A)

在弗雷格的公理系统中，以→和?作为初始联结词，∨、∧、←→三个联结词的定义如下：

A∨B定义为(?A→B)

A∧B定义为?(A→?B)

A←→B定义为(A→B) ∧ (B→A)

用∧和?作初始联结词，其他三个联结词可如下定义：

A∨B定义为?(?A∧?B)

A→B定义为?(A∧?B)

A←→B定义为(A→B) ∧ (B→A)

在任一个系统中，作为初始联结词，否定一是不可缺少的，它的作用是其他的联结词所不能代替的。用等值←→和否定?作为初始联结词是不行的，因为其他三个联结词不能由它们来定义。