商高定理

科技类名词。中国勾股定理的原始形式。西周商高所创，故名。一说汉人根据先秦算术伪托。载《周髀算经》。通过周公与商高的问答，叙述了勾股之术的产生、内容及其应用。以万物的形象不外乎圆方，万物的数字不外乎奇偶的观点，按照古算法，直径为1的圆周是3，设以勾为3，是以勾相当于圆周，以股为4，是以股相当于方匝;这样则弦自然为5，得圆方径相通之率，以此推算出勾、股，即直角三角形二直角边与弦，即直角三角形斜边之间的内在联系，发现了勾3股4弦5、勾股平方之和等于弦平方的定理。用公式来表示：勾

2

+股

2

＝弦

2

3

2

+4

2

＝5

2

9+16=25提出“并勾股之实，以求弦”;“减勾于弦，为股之实”，“减股于弦，为勾之实”的方法，即从已知其中二项值可求出第三项的值，用公式来表示：

勾

2

+股

2

＝弦

2

弦

2

-股

2

＝勾

2

弦

2

-勾

2

＝股

2

认为利用勾股定理可以测地知天，具体做法是先立一平矩为标准，利用偃矩、覆矩、卧矩来测高、测深、测远，利用环矩，即以矩的一端为支撑点，而旋转另一端来测圆，利用合矩，即把两边相等的矩相合来测方。商高就是这样叙述了矩之于物，无所不至。但《周髀算经》的勾股之术，只知勾3股4弦5及勾6股8弦10几种算法，未能把勾股定理普遍推广运用，以后经过三国魏刘徽的割圆术、南宋秦九韶三角形面积计算、杨辉的弧矢式，勾股定理才臻于完备。

即勾股定理。因由商高发现而又得此名。据我国现存最早的数学专著《九章算术》载，勾股定理是由周朝的商高发现的。另一成书于公元前1世纪以前的数学著作《周髀算经》上卷第一部分中，用商高回答周公提问求教的方式，介绍了这一定理，有“勾股各自乘，并而开方除之”，又有“勾广三，股修四，径隅五”。这些陈述与今天关于勾股定理的通俗说法“勾三股四弦五”几乎无异。因此，在我国，勾股定理一般又称作“商高定理”。在西方国家，又称作“毕达哥拉斯定理”。其实，毕氏发现勾股定理要比商高晚得多。魏晋时期，数学家刘徽得出“5，12，13”、“8，15，17”、“7，24，25”、“20，21，29”等勾股弦解，清陈杰等则得出了勾股弦的整数通解。汉代著名数学家赵爽，用勾股圆方图对商高定理作了严格而巧妙的证明，这种证法被西方数学家认为是“最省力的”，其中包含有割补原理的思想，体现出的象数一致性，意义更为深远。