代数结构daishu jiegou

指对于许多数学对象，如群、环、域、向量空间、有序集等等，用集合与关系的语言给出来的统一的形式.首先，由于数学对象的多样性，有不同的类型的集，如群表示的集为G×G.实际上，群涉及的是二元运算；而向量空间表示的集为F×F→F,F×V→V,V×V→V，向量空间涉及域F中的运算，域F中的元对V中元的运算，V中元的运算.引入基本概念——“合成”(如，群的合成就是乘法运算；向量空间的“合成”有F中的元对V中元的作用乘法，V中元的加法运算)，并且，要求“合成”适合给定的公理体系，得到的就是一个数学结构. (参看“合成”、“积集”等条目.)
例如，群〈G,*〉是个数学结构.由集G,G×G到G的映射* （合成或代数运算），并且适合

(a*b)*c=a*(b*c)　a,b,c∈G

∃1∈G,1*a=a*1=a,a∈G

a∈G,∃a′∈G,a′*a=a* a′=1.

事实上，代数结构中，所有概念均可用集合及关系来定义，即用集合及关系的语言来表述.
做为基本概念，若仅仅着眼于“合成”(即“运算”)，则这种数学结构称为代数结构，或代数系（统）.换言之，代数结构（代数系）就是带有若干合成（运算）的集合.
最基本、最常见的代数结构是：群、环、域、向量空间、有序集（偏序集）、格、布尔代数等.
群是有一个二元运算的代数结构；环和域都是有两个二元运算的代数结构；格是有两个二元运算的代数结构；布尔代数、集合代数、命题代数都是带两个二元运算和一个一元运算的代数结构.它们都（分别）适合特定的公理体系.