共线向量的充要条件gognxian xiangliang de chongyaotiaojian

定理 两个向量a,b共线的充要条件是存在不全为零的m,n，使ma+nb=0
由此定理，可以得到两个推论：
推论1 若a,b不共线，则ma+nb=0成立的充要条件是m=n=0.
推论2.向量b与非零向量a共线的充要条件是b=ka，这里k由a,b唯一确定.
推论2表明，取定一个非零向量为基，任意一个与此向量共线的向量都可以由此向量线性表出，且表法唯一.

图1

把以上定理及推论用于对空间三点位置向量的讨论(图1)，可以相应地得到：
定理 空间三点A,B,C共线的充要条件是存在不全为零的m,n,l，满足m+n+l=0，且使mA+nB+lC=0成立.
把向量减法＝B-A,＝C-B,＝C-A引入前面的第一个定理，就可以得到这个定理.
推论1 若三点A,B,C不共线，等式m+n+l=0和mA+nB+lC=0同时成立，充要条件是m=n=l=0.
推论2 设点A,B相异，则点C与A,B共线的充要条件是存在实数λ,μ，使C=λA+μB，且λ+μ=1，当且仅当C与A,B相异时，λ和μ都不为零.
推论2的几何意义可以从图2中得到解释：
❶C点在相异两点A,B所确定的直线上滑动，则任一时刻的C都可表成λA+μB，并且λ+μ=1.当C与A重合时，λ=1,μ=0.当C与B重合时，λ=0,μ=1.当C与A,B相异时，λ和μ都不为零.

图2

❷反之，若C=λA+μB成立且λ+μ=1，则位置向量C的终点C必在位置向量A,B的终点A,B所确定的直线上.
当λ和μ连续取遍了所有满足和为1的实数值时，点C就“扫描”过了整条A,B两点确定的直线.