综合除法zonghe chufa

计算多项式f(x)除以x-a所得不完全商和余数的一种常用的比较简便的方法.
设

f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n-1x+a_n(a₀≠0)

除以x-a，所得的不完全商是(x)，余数是r.那么

f(x)=(x-a)(x)+r　(1)

这里(x)是x的n-1次多项式，把它记作(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+b₂x^n-3+…+b_n-2x+b_n-1 (b₀≠0)
把(x)的表达式代入(1)式，经整理后可得

等式(2)是一个恒等式.由多项式恒等的定理可得

从上面右边得出的一列等式可以看到，不完全商(x)的各项系数b₀,b₁,b₂，…，b_n-1和余数r，可以从被除式f(x)的各项系数a₀,a₁,a₂，…，a_n和除式x-a中的a顺次递推出来.
为了方便，上面的计算可以列式来进行

例如，求f(x)=3x⁵-14x³+7除以x-2所得的不完全商和余数，先把f(x)按x降幂排列，缺项补零、表示为完全多项式

f(x)=3x⁵+0x⁴-14x³+0x²+0x+7

由此确定各项的系数顺次是3,0,-14,0,0,7.再由x-2确定a=2，列式来计算

不完全商余数r=-9.
象上面这样求多项式f(x)除以x-a的不完全商和余数的方法，称为综合除法.