136 非协调有限元收敛性研究的进展

为检验非协调元的收敛性，1970年代西方学者lrons提出“小片检验”准则，一直未获证明。其后，德国数学家Stummel指出该准则并非收敛性的充要条件。中国学者石钟慈分析了工程计算中一些不满足“小片检验”准则却有收敛效果的实例，从理论上证明了这些实例在某些场合下确为收敛，否定了“小片检验”的必要性，并给出可获收敛结果的网格剖分条件。从而扩大了非协调元的使用范围，在理论和实际上均具有重大意义。石钟慈还发现并首次从理论上研究了非协调元的一种较普遍存在的奇特的错向收敛现象。即有限元近似解可收敛到非真解的错误极限。他找到若干这种非协调元，具体给出其错误极限，证实非协调元的解有时强烈依赖于网格剖分的几何形状。Stummel后来提出非协调元收敛的充要条件：广义小片检验。因过于理论化，实践中不便应用。石钟慈采用了小片检验的某些合理内核，并运用广义小片检验严格的数学论证方法，提出一种理论上严格、又简便实用的非协调元收敛性的F—E—M准则。运用这一准则可以方便地检验包括未通过小片检验的元在内的大量非协调元。