开方术

古代重要数学方法及重要研究课题之一。中国古代，不仅今之开方即求二项方程的正根的方法称为开方术，而且凡是求任意方程的正根的方法都称为开方术。不过开平方常称为开方，开四次方称为开三乘方，开五次方称为开四乘方，依次类推。求含有一次项的二次方程的正根叫开带从(平)方，同样也有开带从立方的名称。奇次幂系数为0的方程秦九韶称之为开玲珑乘方。《九章算术》提出了完整的开平方、开立方术，是为世界上首次提出完整的多位数开方法。魏刘徽给予了几何解释，实际上证明了开方术的正确性，并对开方程序作了改进。后来，《孙子算经》、《张丘建算经》也有所改进。现存数学著作中，首次引入正系数三次方程的是唐王孝通《缉古算经》，他还有无奇次幂的四次方程，通过两次开平方求解。北宋贾宪创造立成释锁法，继承了以往开方法的长处，与今方法基本相同。释锁是宋元关于开方的专门术语，比喻开方如开锁。而唐宋历算家把一些常用数据列成表格供计算人员使用，称为立成。贾宪释锁法的立成便是开方作法本源，今称之为贾宪三角。开平方用贾宪三角第三层，开立方用第四层，依次类推，由此可见，贾宪已把传统开方法推广到开高次方。《隋书?律历志》有南朝祖冲之提出“开差幂、开差立，兼以正负参之”的记载。钱宝琮认为，这表明祖氏已引入了负系数三次方程，惜已失传。现有资料中，首次引入负系数方程的是北宋数学家刘益(12世纪)，他著《议古根源》，创造了减从术和益积术求负系数方程正根，杨辉誉之为“实冠前古”。前此，贾宪创造增乘开方法，这是一种更简捷、程序化更强的开方法，把中国开方术的研究推向了一个新的阶段。13世纪中叶，秦九韶提出正负开方术，把以增乘开方法为主导的求高次方程正根的方法发展到十分完备的境地。李冶、朱世杰也作出了贡献。这些成就都超前其他民族几百年。明数学落后，增乘开方法失传。清中叶传统数学复兴，汪莱、李锐讨论根的个数与系数的关系，并提出方程可以有重根，有负根，取得了杰出成就，可惜这些成就的取得都在西方同类成就之后了。