集合论

集合又称集，是近代数学的基础，它可以表示概念、性质、运算和变换，可以表现判断和推理，能够将数学描述表达成各门学科的语言和系统。一个集合是由一些具有某种属性的事物的全体组成的。集合论是描述人脑思维对客观事物识别和分类的数学方法。对给定的论域U与给定的性质P，造集的过程是人们对元素u∈U与性质关系的识别过程，由于识别的准则不同，因而便有了不同的集合论――普通集合论、模糊集合论、可拓集合论。普通集合论又称经典集合论、康托集合论，由康托创立。它是在以下两个条件下建立的：对识别过程规定如下准则：“只允许考虑如下两个命题：(1)元素u(∈U)具有性质P;(2)元素u(∈U)不具有性质P。而且要求对每个u∈U，这两个命题有且仅有一个成立。所有能使第一个命题成立的元素组成一类，能使第二个命题成立的元素组成另一类。经典集合论中的基本要求是：从论域U中任意指定一个元素u及任意一个集合A，要么u∈A，要么uA，二者必居其一，且仅居其一。描述普通集合A一般用其特征函数XA，XA：U→{0，1}，u→XA1元素u(∈U)具有性质P;(2)元素u(∈U)不具有性质P。而且要求对每个u∈U，这两个命题有且仅有一个成立。所有能使第一个命题成立的元素组成一类，能使第二个命题成立的元素组成另一类。经典集合论中的基本要求是：从论域U中任意指定一个元素u及任意一个集合A，要么u∈A，要么uA，二者必居其一，且仅居其一。描述普通集合A一般用其特征函数XA，XA：U→{0，1}，u→XA(u) =，上述四个命题中的某一个成立。”可拓集合描述的是既非普通集合描述的“非此即彼”又非模糊集合所描述的“亦此亦彼”的特性的事物。例如，半导体，既有导电的性质，又没有导电的性质，是可拓集合描述的对象。可拓集合用其关联函数K：U→(

-∞

，

+∞

)，u→K(u)称为u与可拓集合的关联度。可拓集合能够比较合理地描述自然现象和社会现象中各种事物的内部结构和彼此之间的关系以及事物的变化，它把经典集合中的逻辑值从{0，1}扩展到(-∞，+∞)，使经典数学中“属于”与“不属于”集合的定性描述拓展到定量描述，以表征元素间的层次关系。目前，可拓集合特别是在处理不相容性的决策中已取得了广泛的应用。