四元玉鉴

数学名著。元代朱世杰著。大德七年(1303)成书。3卷。24门，288问。卷前有“今古开方会要之图”5幅、“四象细草”、“假令之图”，述四元(四个未知数，以天、地、人、物代表)术基本原理。在“假令四草”、“或问歌彖”、“两仪合辙”、“左右逢元”、“三才变通”、“四象朝元”六门中，有二元高次联立方程36题，三元13题，四元7题，并载消元解法，此较法国数学家培祖之法早近470余年。载有高阶等差级数和内插法问题。被誉为古代最杰出数学著作之一。

古算书名。三卷，元朱世杰撰。大德七年(公元1303年)刊于扬州。本书继承发展了13世纪南北两个数学中心的数学成就，是中世纪中国数学史也是世界数学史上水平最高的著作。卷首首先列出四种五幅图：今古开方会要之图(梯法七乘方图、古法七乘方图二幅)、四元(勾、股、弦、黄方即勾股和与弦之差)自乘演段之图、五和(弦与勾股差之和、勾股和、勾弦和、股弦和、弦与勾股和之和)自乘演段之图、五较(勾股差、股弦差、勾弦差、勾股和与弦之差、弦与勾股差之差)自乘演段之图、梯法乘方图即增乘开方法之图、古法七乘方图即九层的贾宪三角。又列出四象细草假令之图，给出了一气混元(一元高次方程)、二仪化元(二元高次方程组)、三才运元(三元高次方程组)、四象会元(四元高次方程组)四个例题，分别是天元术、二元术、三元术、四元术的解题模式，举例发凡，贯穿全书。本书分三卷，24门，288问。卷上7门，75问(含假令四草)，是关于各种田亩面积、商功修筑、谷物容积以及各种交换问题;卷中10门，103问，有关各种复杂的面积、体积、垛积、勾股测望，及如像招数等问题;卷下8门，110问，各种更为复杂的垛积、面积、体积、勾股及各种高深的数学问题。本书全部用天元术、二元术、三元术、四元术解决，其中用二元术36问，三元术13问，四元术7问，在世界上首次提出了完整的多元高次方程组解法。许多问题在用天元术求解过程中，必须用到垛积术，因此高阶等差级数求和问题成为本书的另一重要成就。书首所列出的贾宪三角用两组平行于两斜的平行线将各廉联结起来，表明了他的求和思路，也说明他的一系列高阶等差级数求和公式形成了一个完整的系统。高次招差问题与垛积问题互为表里，也是本书最精采的部分之一。元刻本今已不传。清嘉庆间阮元在浙江访得此书，呈入《四库》。后来，沈钦裴、罗士琳、戴煦、李善兰等都对《四元玉鉴》作过深入研究。罗士林历十余年撰《四元玉鉴细草》，道光十七年(公元1837年)刊刻，提出校勘记130余处，并对每一问给出细草。后来多次刊刻，成为研究此书之必读，影响甚大。罗氏之前，沈钦裴亦作《四元玉鉴细草》，对四元消法和高阶等差级数求和问题，都有很好的理解，其稿本现藏北京图书馆，《中国科学技术典籍通汇?数学卷》影印了此稿本的抄本。戴煦亦撰《四元玉鉴细草》，未刊刻，稿本存台湾。