形式主义

指认为数学的真理体现在它的不矛盾性上，只须证明由数学的公理出发，永远推不出矛盾，那数学就是代表某一方面的真理的思想。如何证明从数学公理出发永远推不出矛盾呢?如果再使用数学的方法那是达不到这个目的的，因为这将出现恶性循环。代表人物希尔伯特主张先将数学系统完全公理化，其中的公理以及规则都用形式符号加以表示，丝毫不涉及有关公式的可能解释。他把这样的公理系统叫作对象理论。要证明对象理论的无矛盾性，则须用另外一种理论。相对于对象理论，这种理论叫作元理论。元理论的任务就是研究对象理论的基本性质。如果在元理论中能证明对象理论中的符号变换永远不可能推出两个互相反对的公式，那么对象理论的无矛盾性就得到了保证。要使这个证明具有可靠性，在元理论中只限使用有穷的方法。希尔伯特依据这一思想提出过一个规划，想解决全部数学的无矛盾性问题。1931年哥德尔不完全性定理发表后，表明在元理论中只使用有穷方法是不可能证明比它更强的理论的不矛盾的，因此，希尔伯特计划宣告失败。但希尔伯特的这种方法促使了元数学这门新学科的诞生，使元数学成为专门研究形式系统的学科。