数学

一门研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。数学萌发于远古时代，诞生在人类文明的发源地。在东亚的黄河、长江流域，南亚次大陆的印度河、恒河流域，西南亚的幼发拉底河、底格里斯河流域和东非尼罗河流域等地，从远古时代起，人类就开始根据自己生活和生产的实际需要，不断发现和积累数学知识。数学的发展主要经历了三个时期，(1)初等数学时期(公元前6世纪―公元17世纪)，这是算术、初等几何、初等代数逐步完善，常量数学基本建立的时期。(2)变量数学时期(公元17世纪初―19世纪初)，这是数学空前发展的时期，解析几何、高等代数、微积分学等分支学科相继出现。(3)近代数学时期(公元19世纪初―)，这个时期产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑、模糊数学等大量分支，将数学推向一个新的发展高峰。纵观数学史，其发展遵循常量数学→精确数学→变量数学→随机数学→模糊数学的序列，从而表明数学是历史发展的产物，一个时代的数学发展状况依赖于那个时代的历史条件，是当时人类社会实践水平和科学文化知识积累的必然结果。数学发展到现在已构成包含众多分支学科的庞大的科学体系。按与现实生活联系的密切程度可分为两大类，即纯粹数学和应用数学。纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，其中包括研究空间形式的几何类，如微分几何、拓扑学等;研究离散系统的代数类，如数论、近世代数等;以及研究连续现象的分析类，如微分方程、函数论、泛函分析等。应用数学主要研究如何从现实问题中抽象出数学规律以及如何把已知的数学规律加以应用，其中包括运用微分方程来描述物理、工程技术等领域中的运动过程和现象的数学物理方程;运用数学方法协助人们寻找解决问题的最优方案的运筹学;帮助人们从偶然现象背后找出必然规律的概率统计学等等。数学具有其鲜明特点，与其它许多自然科学不同之处在于，数学不是以某一类实物或某一种物质运动形态作为研究对象的，它的研究对象表现为思想事物的纯粹的量。由此决定着数学具有三个最深刻的特征：①高度抽象性，②严谨的逻辑性，③广泛的适用性。这些特征在近代数学中更集中、更突出地表现了出来。近代数学的形成与几个主要数学分支发生的重大变革密切相关，这些变革促使数学的面貌发生了惊人的变化：领域急剧扩展，内容不断深化，整个数学显示出统一化的趋向。这些深刻影响数学发展的变革包括：1.群论的建立及近世代数学的形成19世纪初法国数学家伽罗华1初等数学时期(公元前6世纪―公元17世纪)，这是算术、初等几何、初等代数逐步完善，常量数学基本建立的时期。(2)变量数学时期(公元17世纪初―19世纪初)，这是数学空前发展的时期，解析几何、高等代数、微积分学等分支学科相继出现。(3)近代数学时期(公元19世纪初―)，这个时期产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑、模糊数学等大量分支，将数学推向一个新的发展高峰。纵观数学史，其发展遵循常量数学→精确数学→变量数学→随机数学→模糊数学的序列，从而表明数学是历史发展的产物，一个时代的数学发展状况依赖于那个时代的历史条件，是当时人类社会实践水平和科学文化知识积累的必然结果。

数学发展到现在已构成包含众多分支学科的庞大的科学体系。按与现实生活联系的密切程度可分为两大类，即纯粹数学和应用数学。纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，其中包括研究空间形式的几何类，如微分几何、拓扑学等;研究离散系统的代数类，如数论、近世代数等;以及研究连续现象的分析类，如微分方程、函数论、泛函分析等。应用数学主要研究如何从现实问题中抽象出数学规律以及如何把已知的数学规律加以应用，其中包括运用微分方程来描述物理、工程技术等领域中的运动过程和现象的数学物理方程;运用数学方法协助人们寻找解决问题的最优方案的运筹学;帮助人们从偶然现象背后找出必然规律的概率统计学等等。

数学具有其鲜明特点，与其它许多自然科学不同之处在于，数学不是以某一类实物或某一种物质运动形态作为研究对象的，它的研究对象表现为思想事物的纯粹的量。由此决定着数学具有三个最深刻的特征：①高度抽象性，②严谨的逻辑性，③广泛的适用性。这些特征在近代数学中更集中、更突出地表现了出来。

近代数学的形成与几个主要数学分支发生的重大变革密切相关，这些变革促使数学的面貌发生了惊人的变化：领域急剧扩展，内容不断深化，整个数学显示出统一化的趋向。这些深刻影响数学发展的变革包括：

1.群论的建立及近世代数学的形成

19世纪初法国数学家伽罗华(E.Galois 1811―1832)第一次提出“群”的概念，为群论的建立奠定了基础。群的概念是为对客观世界中具体的和抽象的对称性进行研究而引进的。最先开始出现的群是变换群，即一些变换组成的集合，它满足群的公理：两个元素的乘积仍是群的元素，乘积满足结合律，群中有单位元素，群中每个元素都有一个逆元素，它们的乘积等于单位元素。当把具体变换的共有特征抽象出来，以符号代替具体变换，就形成了抽象群论。把这个过程反过来，即又把抽象群具体实现为变换群，是群表示论所研究的。这都是群论的重大发展。此后，更多的带有一种或几种运算的对象系统，如环、理想子环、线性空间等等抽象的代数系统相继发现，使代数学的研究对象发生了重大变化，一门新的数学分支――近世代数就此形成和发展起来。今天，群的概念不仅扩展到整个数学，而且广泛应用到物理、化学和其他领域中去了，可以说，没有群就不能理解近代数学。

2.非欧几何的建立与拓扑学的兴起

自从15世纪古典的欧几里得几何复兴之后，几何学的第五公设――平行公设一直是人们关注的焦点。它显得非同寻常，以致许多数学家为之绞尽脑汁，希望能从其他公理、公设推导出来。1826年，俄国数学家罗巴契夫斯基( Н.Н.Лобачсвский，1793―1856)另辟蹊径，认定第五公设是不能用数学证明的，并用一个与它相反的命题来代替，创立了非欧几何。1854年，德国数学家黎曼(G.F.B.Riemann1826―1866)运用类似的方法创立了另一类非欧几何。非欧几何的出现是几何发展史上一个具有深远意义的事件，它开阔了人们的眼界，赋予空间概念以新的内容，使“空间”与极其丰富的现实内容相联系，反映着现实世界中某种与空间形式相似的量的关系。非欧几何特别是黎曼几何的研究，开辟了拓扑学研究的新领域。以往的几何学对图形的性质研究得十分精细，但在实际问题中许多问题却只与图形的拓扑性质有关。拓扑性质是指几何图形在弯曲、变形、拉大、缩小下仍然保留的性质，拓扑学就是研究怎样刻划不同的图形的拓扑性质以及拓扑分类问题的。二次大战后，拓扑学取得惊人的发展，成为包括组合拓扑、分析拓扑、点集拓扑在内的一门数学新分科，并渗透到所有数学领域，甚至物理学、化学、生物学也都受到它的影响。

3.分析理论的奠基与抽象分析学的创立

19世纪以前数学分析在不严格的情况下发展，进入19世纪这种状况开始改变，法国数学家柯西(A.L.Cauchy.1789―1857)开始将分析建立在严格的基础上，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分。最后由德国数学家魏尔斯特拉斯(K.Weier-strass 1815―1897)、康托(G. Cantor 1845―1918)等人相继完成了连续统的理论，为数学分析的严格基础奠定了基石。20世纪初，勒贝格(H.Lebesgue 1875―1941)创造性地提出了分割函数值区间取和式极限的新思想，建立了勒贝格测度和积分理论，它构成了现代分析的基础，也是泛函分析中不可少的概念。泛函分析形成于20世纪30年代，是研究无穷维抽象空间及其分析的学科。它建筑在函数空间概念的基础上，研究一般集合上的函数，泛函实际就是函数集合上的函数的意思。泛函分析是20世纪数学的一项重大成就，并在现代物理学中起着不可或缺的作用。

19世纪末到20世纪初是数学的一个激烈变革时期，经历这一洗礼的数学具有了以下三个特点和发展趋向：(1)研究对象日趋广泛，表述形式更加抽象;(2)不同分支交错发展，多种理论高度综合;(3)数学理论多方应用，边缘学科与日俱增。

自然科学的基础学科之一。研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。近代数学的产生，特别是电子计算机对数学发展的巨大影响，已促进了一批边缘性分支学科及系统科学、信息科学的蓬勃发展，故除数量关系和空间形式外，信息、系统、语言也成为数学科学的研究对象。数学高度的抽象性，决定其广泛的应用性。在现代科学从定性描述转向定量研究的发展趋势中，数学成为自然科学、工程技术、国防乃至社会科学各个部门的基础与工具，对人类认识和改造客观世界起着重大作用。数学是人类文明的重要组成部分，其学科发展大致经历了萌芽时期、初等数学时期、近代数学时期和现代数学时期的四个阶段。从公元前5世纪到公元17世纪，初等数学的主体部分算术、初等代数和几何业已发展成熟，数学开始成为一门独立的学科。17世纪到19世纪末，解析几何与微积分的产生，标志着常量数学进入变量数学的领域。20世纪近代数学的迅猛发展，使“数学化”成为衡量一门科学是否成熟的重要标准。近代数学包括数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓朴学、函数论、泛函分析、微分方程、概率论、数学物理等分支，随着科学技术的发展和电子计算机的应用，数学又形成了诸如应用数学、计算数学、运筹学、数理统计、控制论、信息论和经济数学等边缘学科。目前，国际上数学正处在一个蓬勃发展的新时期。数学各主要分支学科相互渗透，体现了数学科学内在的统一性;数学与其它学科间的交叉愈发广泛深入，反应了数学应用的普遍性。特别是电子计算机开辟了不少应用数学的分支，使数学理论的研究方法与路线发生了根本变革，与此同时数学的发展还为计算机的应用展示了更加宽广的前景，今后若干年内，大规模的科学计算、非线性数学、离散数学和概率统计学的研究等将以更快的速度向纵深发展。

(一)中原地区的原始数学

中原地区早在原始社会时期，数学已开始萌芽。距今6000多年前的仰韶文化遗址中，彩陶器上有多种数字符号，并有圆形、方形、三角形等多种几何图形，说明当时已有数的概念。到了奴隶社会，由于建造房屋、制造车船、测量田亩、编制历法等，需要数学知识和数学计算，因而数学有了进一步发展。商代的甲骨文中，有许多我国最早的数学资料记载。甲骨文中反映出，当时已有奇数、偶数、倍数和分数的数学内容。甲骨文的数字中，已有一至三万等字，具备了个、十、百、千、万的科学的逢十进位制。这十进位制比同时期的古希腊、古罗马的方法，更为简便、科学，处于世界领先地位。西周、东周时候，数学已是“六艺”中的一艺，成为贵族子弟学习的单列科目。足见当时的数学又有了一定程度上的发展。

(二)张苍删补《九章算术》

张苍不仅精通天文历法，而且还是个数学家。《九章算术》是我国最古老的数学名著，不是一时一人所作，而是经过许多人的修改加工，才逐渐形成的。西汉初期，张苍见此书旧文残缺遗漏，即对它作了增订删补。张苍对此书旧本篇目有所更改，并把当时人们所获得的有关数学新成就，也补充了进去。《九章算术》是我国古代“十大算书”之一，被历代用为数学教科书，对后世曾产生过巨大影响。

(三)庾曼倩注《算经》

庾曼倩，字世华，曾任南梁荆州主簿等职。他不仅通晓天文历法，著有《七曜历》一书。他还精于数学，对数学名著《算经》作过笺注，曾有《注算经》一书行世。

(四)朱载?的数学贡献

明代郑王世子朱载?还是个数学家，他在怀庆府从事数学研究，成就辉煌。他的数学著作有《算学新说》、《嘉量算经》、《圜方句股图解》等，在其《律学新说》、《律吕精义》、《乐学新说》中，亦包含许多数学成果。(参见朱载?《乐律全书》)他求园周律，已接近于精确;他使用算盘进行开方运算，在我国珠算史上尚是首创;他用珠算完成了九进制和十进制的小数换算，详细阐述了不同进位的小数换算方法，达到数学中这方面成就的高峰，这要比欧洲同类换算法早一百多年，在数学史上具有重要价值。

(五)杜知耕的数学专著

杜知耕，字端甫，河南柘城人，康熙三十六年(1697年)举人，是个较有成就的数学家。他的《内何论约》7卷，是据利玛窦、徐光启所译《几何原本》删削而成。此书对利氏《几何原本》作了深入研讨，举要删繁，详细论证，说明其优劣得失。他的《数学钥》六卷，杂取古代诸家算法，并参考西欧算法，按照中国传统的数学九章体例，对于数学中诸题予以分类，讲解疏通，图画剖析。清代著名数学家梅文鼎评此书“可为算家程式”。《几何论约》、《数学钥》是清代对近代数学有所研究的两本专著，都有一定价值，此两书已被收入《四库全书》中。

(六)李子金的几部数学著作

李子金，名之铉，河南鹿邑人。清初不仕，专力研究学问，尤精数学。他著有《算法通义》5卷，讲算法九章中算法的“当然之则”，阐明各种算法原理。如能掌握其理，算法虽有万变，皆能触类旁通。他所著《天弧象限表》2卷，是对西欧割圆术八线表的方法，经过研究后，所作出的简化和改进。他的《几何简易》4卷，则是将利玛窦《几何原本》、艾儒略《几何要法》两书，作了删节和注解，合璧为一，便利人们学习。他的数学著作，还有《后天图说》、《解环谱》等。

(七)孔兴泰《大测精义》

孔兴泰，字林宗，睢州(今河南睢县)人。他对西方数学研究最力，所著《大测精义》一书，比较完整地提出了求半弧正弦等方法。他对继承我国古代数学和发展我国近代数学，作出了有益的努力。

蒙古草原的数学，渊源很古。在内蒙古自治区阴山山脉蹬口县默里赫提沟等地的岩壁上，就刻有蒙古草原上的先民遗留下来的原始数码。这些原始数码，是当时的人们在猎取动物和饲养家畜的过程中，为了记数而创造的记数符号，其形状为“”、“”……，相当于现在的1、2、3、4……。除这些原始数码外，在蒙古草原上，还发现有大量的原始时期的几何图形，如在内蒙古阴山山地凿刻的一些远古岩画中，就有长方形、正方形、圆等几何图形。出土于蒙古草原上的，属于新石器时代的陶器上，也绘有大量几何图案，如三角纹、直线纹、曲线纹、斜线纹、方格纹等。可见，蒙古草原在原始时期，就有了数学的萌芽。

春秋、战国、秦、汉时期，活跃于蒙古草原上的匈奴民族，文化发达，在数学方面也有一定的成就。如1956年在内蒙古乌兰察布盟察右后旗二蓝虎沟出土的匈奴文物中，有几件铜牌就绘有正方形、长方形、三角形、菱形、圆、圆柱等几何图形。这些几何图形，种类已较为齐全，说明匈奴民族已掌握了一定的几何学知识。

随着历史的演进，蒙古草原的数学逐渐告别了童年时代，在实践中形成了一套具有特色的数学计算方法。“朱尔海”算法便是这样一种古老而独特的数学计算法。“朱尔海”是蒙古语，意思是时间、速度。“朱尔海”算法在计算过程中所用的工具方法和程序都很特殊。计算工具要用专门的适合“朱尔海”算法的朱尔海黑板和朱尔海笔。朱尔海黑板是40×16cm的特制木板，朱尔海笔是16cm的铁制笔。二者都要专门进行艺术加工，作工考究，极富民族特色。用朱尔海笔和朱尔海黑板进行“朱尔海”计算，速度很快。“朱尔海”算法的方法和程序是在计算过程中涂去已算过的数，在那个位置上填写新数，涂去一次，再在那个位置上填写一个新数就算完成一种运算，随时清理已算过的数，不写任何计算符号，不写计算过程，计算从左往右进行。“朱尔海”算法，使用的计算工具、方法程序虽独具一格，但用于算术四则运算所得结果和现今算术方法所得结果一样。“朱尔海”算法还有一个特点，就是它还可以检验自身运算过程是否正确，检验方法中包括“9”的消除”、“27的消除”、“67的消除”、“707的消除”法等。“朱尔海’算法除用于数学计算外，还适于编订日历，推算日食、月食等方面的运算，是一种科学而且先进的数学计算方法。

1980年春，在内蒙古乌兰察布盟卓资县碌碡坪乡忽洞坝村的一座辽代古墓中，出土了一具名为算筹的古算具。算筹是世界上最早的计算工具，也就是算盘的前身。在我国内地的使用，始于夏、商，盛于汉、唐，能在内蒙古乌兰察布草原出土，说明蒙古草原的游牧民族，在数学实践中，对这种珍贵的古算具也掌握很早。算筹是记数和演算兼用的算具，其计数和算盘相仿。都是十进位，它的摆(写)法分纵式和横式两种，从一到九的纵式摆(写)法为“、、、”。 横式摆(写)法为：“、、、，记数与算盘相同，上一代表五，下一代表一，遇两位数以上者，纵横两种摆法必须交替使用，两种摆法都不摆十，以定位代之。算筹的制作较为简便，一般取材于竹、木、石、铜、铁等，珍贵者也有用象骨和玉为材料的。出土于内蒙古乌兰察布草原辽代古墓的算筹是用象骨制作的，共20支，每支约长12厘米，宽0.4厘米，极为珍贵。

13世纪初，成吉思汗统一了蒙古各部，建立起强大的蒙古帝国。随后成吉思汗以及他的继承者们便进行了横跨亚欧两大洲的长期征战。这极大地促进了蒙古草原地区与欧亚诸国的经济和文化的交流，一些西方先进的数学知识，在这个时期传入了蒙古草原，使蒙古草原的数学又添新姿。如，古希腊数学家欧几里德所撰写的数学巨著《几何原本》，就是在13世纪传到蒙古草原的。当时在蒙古草原，对《几何原本》进行研究的是成吉思汗的孙子，当时的蒙古大汗蒙哥。据《元史》载，蒙哥的研究是我国对《几何原本》的首次研究。可见，蒙古草原在接受西方先进的数学知识方面，居于领先地位。在内地，直到明代，才由徐光启将《几何原本》的前6卷译成汉文。

蒙古草原的数学，在发展中逐渐系统化，出现了一些用当地民族文字著述的数学专著。如公元1712年成书的蒙古文《三角算法》，是一部介绍三角函数方面知识的数学专著，现藏于蒙古人民共和国。此外，从蒙古草原还走出一批颇有成就的数学专家，如清代正白旗人、蒙古族科学家明安图。明安图所从事的数学研究，与欧洲数学家所从事的同类研究相比，在时间上和质量上都相差不大，他所著的《割圆密率捷法》一书，被有的学者认为是我国18世纪优秀数学著作之一。

根植于蒙古草原的数学，从远古起步，在自身的发展过程中，又兼容了其他地区和国家的先进的数学知识，形成独特而完备的科学体系。